Простейшие задачи аналитической геометрии
В задачах этой группы геометрическая конструкция уже задана в координатном виде, и остается только воспользоваться одной-двумя известными формулами. Проверяются базовые навыки: вычисление расстояния между двумя точками; деление отрезка в данном отношении; вычисление угла между векторами; применение скалярного произведения для проверки ортогональности векторов.
Задачи (67)
№831
В треугольнике $ABC$ с вершинами в точках $A(-2,~-1)$, $B(-1,~4)$ и $C(5,~0)$ найти длину медианы, проведенной к стороне $BC$.
Простейшие задачи аналитической геометрии
Ответ:
Решение:
№832
В трапеции $ABCD$ с вершинами в точках $A(-2,~-3)$, $B(4,~-1)$ и $C(2,~3)$ основание $AB$ в два раза больше основания $CD$. Найти координаты вершины $D$ трапеции.
Простейшие задачи аналитической геометрии
Ответ:
Решение:
№833
Медианы треугольника $ABC$ с вершиной в точках $A(-4,~-2)$ и $B(-2,~7)$ пересекаются в точке $O(1,~2)$. Найти координаты третьей вершины треугольника.
Простейшие задачи аналитической геометрии
Ответ:
Решение:
№834
Окружность с центром в точке $O(4,~1)$ проходит через точку $M(1,~5)$.
а) Написать уравнение окружности.
б) Найти координаты точек пересечения окружности с осью ординат.
а) Написать уравнение окружности.
б) Найти координаты точек пересечения окружности с осью ординат.
Простейшие задачи аналитической геометрии
Ответ:
Решение:
№835
Используя формулы аналитической геометрии, графически решить систему уравнений: $$\displaystyle\left\{\begin{aligned}
&(x-3)^2+(y-2)^2=25, \\
&\sqrt{(x+1)^2+(y-5)^2}+\sqrt{(x-7)^2+(y+1)^2}=10.
\end{aligned}\right.$$
Простейшие задачи аналитической геометрии
Ответ:
Решение:
№836
В треугольнике $ABC$ с вершинами в точках $A(1,~-4)$, $B(-3,~2)$ и $C(7,~4)$ найти длину отрезка, соединяющего середины сторон $AB$ и $BC$.
Простейшие задачи аналитической геометрии
Ответ:
Решение:
№837
В трапеции $ABCD$ заданы координаты двух вершин при основании: $A(2,~4)$ и $B(8,~3)$. Точка $M(3,~1)$ — середина боковой стороны $AD$ трапеции. Основание $CD$ трапеции в два раза больше основания $AB$. Найти координаты вершин $C$ и $D$.
Простейшие задачи аналитической геометрии
Ответ:
Решение:
№838
Медианы треугольника $ABC$ с вершиной в точках $A(2,~-2)$ и $B(1,~4)$ пересекаются в точке $O(4,~1)$. Найти координаты третьей вершины треугольника.
Простейшие задачи аналитической геометрии
Ответ:
Решение:
№839
$A(-6,~-1)$ и $B(-2,~5)$ — две диаметрально противоположные точки окружности.
а) Написать уравнение окружности.
б) Найти координаты точек пересечения окружности с осью абсцисс.
а) Написать уравнение окружности.
б) Найти координаты точек пересечения окружности с осью абсцисс.
Простейшие задачи аналитической геометрии
Ответ:
Решение:
№840
Используя формулы аналитической геометрии, графически решить систему уравнений:
$$\displaystyle\left\{\begin{aligned}
&\sqrt{(x+1)^2+(y+1)^2}+\sqrt{(x-3)^2+(y-2)^2}=5, \\
&\sqrt{(x+1)^2+(y-5)^2}+\sqrt{(x-7)^2+(y+1)^2}=10.
\end{aligned}\right.$$
Простейшие задачи аналитической геометрии
Ответ:
Решение:
№841
Докажите, что треугольник $ABC$ с вершинами в точках $A(-4,~1)$, $B(-1,~5)$ и $C(7,~-1)$ — прямоугольный с прямым углом $B$.
Простейшие задачи аналитической геометрии
Ответ:
Решение:
№842
В параллелограмме $ABCD$ заданы координаты двух вершин: $A(-4,~-2)$ и $B(4,~-4)$. Точка $O(1,~0)$ — точка пересечения диагоналей параллелограмма. Найти координаты двух других вершин параллелограмма.
Простейшие задачи аналитической геометрии
Ответ:
Решение:
№843
Медианы треугольника $ABC$ с вершиной в точках $A(-1,~2)$ и $B(1,~-3)$ пересекаются в точке $O(3,~0)$. Найти координаты третьей вершины треугольника.
Простейшие задачи аналитической геометрии
Ответ:
Решение:
№844
Вокруг треугольника с вершинами в точках $A(-6,~2)$, $B(-6,~6)$ и $C(2,~6)$ описана окружность.
а) Написать уравнение окружности.
б) Найти координаты точек пересечения окружности с координатными осями.
а) Написать уравнение окружности.
б) Найти координаты точек пересечения окружности с координатными осями.
Простейшие задачи аналитической геометрии
Ответ:
Решение:
№845
Графически решить систему уравнений:
$$\displaystyle\left\{\begin{aligned}
&x^2+y^2-6x-2y=3 \\
&x^2+y^2-6x-6y=7.
\end{aligned}\right.$$
Простейшие задачи аналитической геометрии
Ответ:
Решение:
№846
Докажите, что треугольник $ABC$ с вершинами в точках $A(2,~-3)$, $B(-4,~5)$ и $C(4,~-1)$ — равнобедренный с основанием $AC$.
Простейшие задачи аналитической геометрии
Ответ:
Решение:
№847
В квадрате $ABCD$ заданы координаты двух вершин: $A(-1,~-3)$ и $B(4,~2)$. Точка $M(1{,}5,~4{,}5)$ — середина стороны $BC$. Найти координаты двух других вершин квадрата.
Простейшие задачи аналитической геометрии
Ответ:
Решение:
№848
Медианы треугольника $ABC$ с вершиной в точках $A(-1,~5)$ и $B(1,~-3)$ пересекаются в точке $O(3,~1)$. Найти координаты третьей вершины треугольника.
Простейшие задачи аналитической геометрии
Ответ:
Решение:
№849
Вокруг прямоугольного треугольника $ABC$ с гипотенузой $AC$ описана окружность. Координаты вершин: $A(-2,~1)$, $C(6,~5)$.
а) Написать уравнение окружности.
б) Найти координаты точек пересечения окружности с осью ординат.
а) Написать уравнение окружности.
б) Найти координаты точек пересечения окружности с осью ординат.
Простейшие задачи аналитической геометрии
Ответ:
Решение:
№850
Используя формулы аналитической геометрии, графически решить систему уравнений:
$$\displaystyle\left\{\begin{aligned}
&\sqrt{(x+2)^2+(y-1)^2}+\sqrt{(x-2)^2+(y-4)^2}=5, \\
&x^2+\left(y-\frac52\right)^2=\frac{25}{4}.
\end{aligned}\right.$$
Простейшие задачи аналитической геометрии
Ответ:
Решение: