Определенный интеграл

Найти объём тела, полученного вращением вокруг оси абсцисс криволинейной трапеции, ограниченной осью абсцисс, графиком функции $y=4-\sqrt x$ и прямыми $x=1$, $x=4$.

Найти силу давления воды на круглую пластину радиуса $R$, погруженную вертикально в воду так, что она касается поверхности воды.

Найти силу давления воды на полукруг радиуса $R$, погруженный вертикально в воду так, что он касается поверхности воды, а его диаметр параллелен поверхности воды.

Прямоугольная пластина, стороны которой равны $a$ и $b$, вращается с постоянной угловой скоростью $\omega$ вокруг стороны $a$. Толщина пластинки равна $d$, плотность материала $\rho$. Найти кинетическую энергию вращения.

Треугольная пластина, основание которой равно $a$, а высота $h$, вращается вокруг своего основания с постоянной угловой скоростью $\omega$. Толщина пластинки равна $d$, плотность материала $\rho$. Найти кинетическую энергию вращения.

Деревянный поплавок цилиндрической формы, площадь основания которого равна $S$, а высота $H$, плавает на поверхности воды. Плотность дерева $\rho$. Какую работу нужно затратить, чтобы поплавок целиком погрузить в воду?

Найти силу взаимодействия полукольца массы $M$ радиуса $r$ и материальной точки массы $m$, расположенной в центре кольца.

Найти силу взаимодействия кольца массы $M$ радиуса $r$ и материальной точки массы $m$, расположенной на прямой, проходящей через центр кольца перпендикулярно его плоскости и удалённой на расстояние $a$ от центра кольца.

Найти силу взаимодействия тонкого диска массы $M$ радиуса $r$ и материальной точки массы $m$, расположенной на прямой, проходящей через центр диска перпендикулярно его плоскости и удалённой на расстояние $a$ от центра кольца.

Найти площадь фигуры, ограниченной графиками функций $\displaystyle y=\frac{1}{1+x^2}$ и $y=2{,}5-2x^2$. Сделайте чертеж.

Найти площадь фигуры, ограниченной графиками функций $\displaystyle y=\frac{2}{1+x^2}$ и $y=3-2|x|$. Сделайте чертеж.

Найти объём тела, полученного вращением вокруг оси абсцисс криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции $y=\ln x$, прямой $x=e$ и осью абсцисс.

Найти объём тела, полученного вращением вокруг оси ординат фигуры, ограниченной осью ординат, графиком функции $y=x\sqrt x$ и прямыми $y=1$, $y=8$. Сделайте чертеж.

Вычислить: $\displaystyle\int_{-2}^3 (x^2-2x)\,dx$

Вычислить: $\displaystyle\int_{-3}^2 (x^3-3x)\,dx$

Вычислить: $\displaystyle\int_{-1}^3 (2x^2-5x)\,dx$

Вычислить: $\displaystyle\int_{-2}^1 (3x^2-2x^3)\,dx$

Вычислить: $\displaystyle\int_{\pi/3}^{\pi} \sin2x\,dx$

Вычислить: $\displaystyle\int_{\pi/12}^{\pi} \cos2x\,dx$

Вычислить: $\displaystyle\int_{\pi/9}^{\pi/3} \sin3x\,dx$