Определенный интеграл

Найти длину дуги кривой $\displaystyle y=\frac23(x-1)^{3/2}$ ($1\leqslant x\leqslant 4$).

Найти длину дуги кривой $y=\ln\cos x$ ($0\leqslant\pi/4$).

Найти объём тела, отсечённого от круглого цилиндра плоскостью, проходящей через диаметр нижнего основания и точку на окружности верхнего основания (см. рисунок). Радиус цилиндра $R$, высота $H$.

Конус радиуса $R$ и высоты $H$ пересекают две параллельные плоскости, одна из которых проходит через диаметр $AB$ и ось $SO$ конуса, а другая через точку $M$ на середине радиуса $OC\perp AB$. Найти объём части конуса, заключенной между этими плоскостями.

Найти объём тела, ограниченного цилиндрической поверхностью $y=\sqrt x$ и плоскостями $xOz$ и $z=4-x$ (см. рисунок).

Вычислить объём тела, ограниченного поверхностью, образованной вращением параболы $y^2=4x$ вокруг своей оси (параболоид вращения), и плоскостью, перпендикулярной к его оси и отстоящей от вершины параболы на расстояние, равное 1.

Криволинейная трапеция, ограниченная линией $y=xe^x$ и прямыми $x=1$, $y=0$, вращается вокруг оси абсцисс. Найти объём тела, которое при этом получается.

Найдите площадь фигуры, ограниченной гиперболой $\displaystyle y=\frac{4}{x-1}$ и прямыми $x=2$, $y=x-4$. Сделайте чертёж.

Найдите площадь фигуры, ограниченной параболой $y=x^2-4x$ и прямыми $y=4-x$, $x=3$. Сделайте чертёж.

Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции $y=\cos\pi x$ и параболой $y=x^2-2$. Сделайте чертёж.

Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции $y=2^{|x|}$ и параболой $y=8-x^2$. Сделайте чертёж.

Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции $y=\log_2 x$, параболой $y=x^2-6x+5$ и прямой $x=4$. Сделайте чертёж.
Указание. $\displaystyle \int\log_2 x\,dx=x\log_2\frac{x}{e}+C$.

Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции $y=|x|^3$ и прямой $7x-3y+10=0$. Сделайте чертёж.

Найдите площадь фигуры, ограниченной линией $y=\sqrt{|x|}$ и параболой $\displaystyle y=\frac{x^2}{8}$. Сделайте чертёж.

Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями $y=(|x|-1)^2$, $y=4-|x-1|$ и прямой $x=2$. Сделайте чертёж.

Найти объём тела, полученного вращением вокруг оси абсцисс криволинейной трапеции, ограниченной осью абсцисс, графиком функции $\displaystyle y=\frac{4}{\sqrt{x+1}}$ и прямыми $x=0$, $x=3$.

Найти объём тела, полученного вращением вокруг оси абсцисс криволинейной трапеции, ограниченной осью абсцисс, графиком функции $y=\sin x$ и прямыми $x=0$, $x=\pi$.

Найти объём шарового слоя, полученного вращением вокруг оси абсцисс криволинейной трапеции, ограниченной осью абсцисс, графиком функции $y=\sqrt{25-x^2}$ и прямыми $x=3$, $x=4$.

Найти объём гиперболоида, полученного вращением вокруг оси абсцисс криволинейной трапеции, ограниченной осью абсцисс, графиком функции $y=\sqrt{x^2-1}$ и прямой $x=3$.

Найти объём тела, полученного вращением вокруг оси абсцисс криволинейной трапеции, ограниченной осями координат, графиком функции $y=2\sqrt{x+4}$ и прямой $x=5$.