Планиметрия

В трапецию $ABCD$ можно вписать окружность, то есть внутри трапеции существует точка $O$ (центр окружности), равноудалённая от прямых, содержащих стороны трапеции. Доказать, что $AB+CD=BC+AD$.
Указание. Пусть $OK$ и $OM$ — перпендикуляры, опущенные на боковую сторону $AB$ и основание $BC$ трапеции. Воспользовавшись признаком равенства прямоугольных треугольников, докажите равенство треугольников $OKB$ и $OMB$.

Докажите, что биссектрисы углов при боковой стороне трапеции пересекаются на её средней линии. (Средняя линия трапеции — отрезок, соединяющий середины боковых сторон. Средняя линия трапеции параллельна её основаниям).
Указание. В треугольнике, образованном биссектрисами и боковой стороной, проведите медиану к боковой стороне.

Основания трапеции равны 10 и 4. Найти длину отрезка, соединяющего середины диагоналей трапеции.
Указание. Продлите искомый отрезок до пересечения с одной из боковых сторон и воспользуйтесь свойством средней линии треугольника: отрезок, соединяющий в треугольнике середины двух сторон, параллелен третьей стороне и равен её половине.

Основания трапеции равны 9 и 5. Найти длину отрезка, соединяющего середины диагоналей трапеции.
Указание. Продлите искомый отрезок до пересечения с одной из боковых сторон и воспользуйтесь свойством средней линии треугольника: отрезок, соединяющий в треугольнике середины двух сторон, параллелен третьей стороне и равен её половине.

Сумма длин оснований трапеции равна 10, а отрезок, соединяющий середины оснований, равен 3. Углы при большем основании трапеции равны $30^{\circ}$ и $60^{\circ}$. Найти основания и меньшую боковую сторону трапеции.
Указание. Через середину меньшего основания проведите прямые, параллельные боковым сторонам трапеции.

Сумма длин оснований трапеции равна 12, а отрезок, соединяющий середины оснований, равен 5. Углы при большем основании трапеции равны $30^{\circ}$ и $60^{\circ}$. Найти основания и меньшую боковую сторону трапеции.
Указание. Через середину меньшего основания проведите прямые, параллельные боковым сторонам трапеции.

Стороны треугольника равны $13$, $14$ и $15$. Найти косинусы углов треугольника.

Стороны треугольника равны $7$, $11$ и $14$. Найти медиану, проведенную к большей стороне.

В треугольнике две стороны равны $20$ и $21$, а синус угла между ними равен $0{,}6$. Найти третью сторону.

В равнобедренной трапеции верхнее основание равно 3, а боковая сторона 4. Диагонали трапеции пересекаются под углом $60^\circ$. Найти диагонали трапеции и нижнее основание.

В равнобедренном треугольнике $ABC$ с основанием $AB$ проведена медиана $AM$ к боковой стороне. $BC=AC=4$, $AM=3$. Найти $AB$.

В равнобедренном треугольнике основание и боковая сторона равны соответственно $5$ и $20$. Найти биссектрису угла при основании.

В треугольник $ABC$ вписана окружность, которая касается сторон $AB$, $BC$ и $AC$ в точках $M$, $D$ и $N$ соответственно. Найти $MD$, если известно, что $NA=2$, $NC=3$, $\angle BCA=60^\circ$.

В треугольнике $ABC$ $BC=4$, $AB=2\sqrt{19}$. Центр окружности, проходящей через середины сторон треугольника, лежит на биссектрисе угла $C$. Найти $AC$.

В треугольнике $ABC$ $AB=3$, $BC=7$, $\angle A=60^\circ$. Найти сторону $AC$.

В треугольнике $ABC$ $AB=3$, $BC=7$, $\angle A=120^\circ$. Найти сторону $AC$.

В треугольнике $ABC$ $AB=7$, $BC=13$, $\angle A=60^\circ$. Найти сторону $AC$.

В треугольнике $ABC$ $AB=7$, $BC=13$, $\angle A=120^\circ$. Найти сторону $AC$.

В треугольнике $ABC$ $AB=5$, $BC=7$, $\angle A=60^\circ$. Найти сторону $AC$.

В треугольнике $ABC$ $AB=6$, $BC=14$, $\angle A=120^\circ$. Найти сторону $AC$.