Куб с ребром $a=\sqrt{2+\sqrt3}$ освещается цилиндрическим лучом света радиуса $\rho=\sqrt2$, направленным вдоль главной диагонали куба. Найдите площадь освещённой части поверхности куба.
Ответ:
Решение:
По деревянному бруску (прямоугольному параллелепипеду) высотой 25 и площадью основания 60 делаются последовательно два плоских параллельных наклонных среза: второй — на 2 ниже первого. После первого среза, наивысшая и наинизшая точки которого находятся на высоте 15 и 10, остаётся нижняя часть бруска, которую перед вторым срезом можно повернуть на любой угол вокруг вертикальной оси, проходящей через центр симметрии основания бруска. Каков наименьший возможный объем верхнего кусочка, отсекаемого от этой части вторым срезом?
Ответ:
Решение:
Сумма длин двух ребер прямоугольного параллелепипеда равна 2020, а произведение равно длине третьего ребра. Найдите диагональ этого параллелепипеда, если известно, что она на 1 длиннее третьего ребра.
Ответ:
Решение:
Дан куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Назовем точку эквидистантной, если найдутся две вершины куба, для которых эта точка является серединой отрезка. Сколько эквидистантных точек в кубе?
Ответ:
Решение:
Точки $M$, $N$ и $K$ расположены на боковых рёбрах $AA_1$, $BB_1$ и $CC_1$ треугольной призмы $ABCA_1B_1C_1$ так, что $AM:AA_1=1:2$, $BN:BB_1=1:3$, $CK:CC_1=1:4$. Точка $P$ принадлежит призме. Найдите наибольшее возможное значение объёма пирамиды $MNKP$, если объём призмы равен $16$.
Ответ:
Решение:
Коробка конфет имеет форму правильной шестиугольной призмы со стороной основания $10$ и высотой $5\sqrt{3}$. Из двух разных вершин коробки $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ одновременно с одной и той же скоростью начинают двигаться две мухи, меняя направление движения только в вершинах. Одна муха начинает движение в вершине $A$ и двигается только по рёбрам призмы, другая — только по диагоналям оснований и боковых граней. Через некоторое время мухи встречаются. В каких вершинах коробки может произойти встреча?
Ответ:
Решение:
В основании призмы лежит равносторонний треугольник площади 1. Площади её боковых граней равны 3, 3 и 2. Найдите объём призмы.
Ответ:
Решение:
Площадь проекции прямой четырёхугольной призмы $ABCDA_1B_1C_1D_1$ с параллелограммом $ABCD$ в основании на плоскость, перпендикулярную её диагонали $AC_1$, равна $\sqrt{41}$. Чему будет равна площадь проекции этой призмы на плоскость, перпендикулярную диагонали $BD_1$, если $AA_1=5$, $AC=12$, $BD=4$?
Ответ:
Решение:
На ребре $SD$ правильной четырёхугольной пирамиды $SABCD$ с основанием $ABCD$ отмечена точка $M$, причём $SM:MD=1:4$. Точки $P$ и $Q$ — середины рёбер $BC$ и $AD$ соответственно.
а) Докажите, что сечение пирамиды плоскостью $MPQ$ является равнобедренной трапецией.
б) Найдите отношение объёмов многогранников, на которые плоскость $MPQ$ разбивает пирамиду.
а) Докажите, что сечение пирамиды плоскостью $MPQ$ является равнобедренной трапецией.
б) Найдите отношение объёмов многогранников, на которые плоскость $MPQ$ разбивает пирамиду.
Ответ:
Решение:
На рёбрах $AB$ и $BC$ треугольной пирамиды $DABC$ отмечены точки $M$ и $N$ так, что $AM:MB=CN:NB=1:2$. Точки $P$ и $Q$ — середины рёбер $DA$ и $DC$ соответственно.
а) Докажите, что точки $P$, $Q$, $M$ и $N$ лежат в одной плоскости.
б) Найдите отношение объёмов многогранников, на которые плоскость $PQM$ разбивает пирамиду.
а) Докажите, что точки $P$, $Q$, $M$ и $N$ лежат в одной плоскости.
б) Найдите отношение объёмов многогранников, на которые плоскость $PQM$ разбивает пирамиду.
Ответ:
Решение:
Через вершины $A_1$ и $C$ правильной треугольной призмы $ABCA_1B_1C_1$ проведена плоскость $\alpha$, параллельная прямой $BC_1$. Сторона основания призмы равна 6, а боковое ребро равно 2.
а) Докажите, что плоскость $\alpha$ делит ребро $AB$ пополам.
б) Найдите расстояние от прямой $BC_1$ до плоскости $\alpha$.
а) Докажите, что плоскость $\alpha$ делит ребро $AB$ пополам.
б) Найдите расстояние от прямой $BC_1$ до плоскости $\alpha$.
Ответ:
Решение:
Основание пирамиды $SABC$ — прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом при вершине $C$. Высота пирамиды проходит через точку $A$. Точки $E$ и $F$ лежат на рёбрах $AC$ и $BS$ соответственно, причём $AE:EC=SF:FB=1:2$.
а) Докажите, что сечение пирамиды плоскостью $\alpha$, проходящей через точки $E$ и $F$ перпендикулярно прямой $AC$, — прямоугольник.
б) Найдите отношение объёмов многогранников, на которые секущая плоскость делит пирамиду $SABC$.
а) Докажите, что сечение пирамиды плоскостью $\alpha$, проходящей через точки $E$ и $F$ перпендикулярно прямой $AC$, — прямоугольник.
б) Найдите отношение объёмов многогранников, на которые секущая плоскость делит пирамиду $SABC$.
Ответ:
Решение:
В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ с ребром $AB=4$ на серединах рёбер $AD$ и $BC$ взяты точки $K$ и $M$ соответственно. Найти периметр и площадь сечения куба плоскостью, проходящей через точку $M$ параллельно плоскости $(BC_1K)$.
Ответ:
Решение:
Основание правильной четырёхугольной пирамиды $MABCD$ — квадрат $ABCD$. Противоположные боковые рёбра пирамиды попарно перпендикулярны. Через середины рёбер $MA$ и $MB$ проведена плоскость $\alpha$, параллельная ребру $MC$.
а) Докажите, что плоскость $\alpha$ параллельна грани $CMD$.
б) Найдите площадь сечения пирамиды $MABCD$ плоскостью $\alpha$, если $AM=12$.
а) Докажите, что плоскость $\alpha$ параллельна грани $CMD$.
б) Найдите площадь сечения пирамиды $MABCD$ плоскостью $\alpha$, если $AM=12$.
Ответ:
Решение:
Дана правильная четырёхугольная пирамида $SABCD$ с вершиной $S$. Все рёбра пирамиды равны $6$. Найдите площадь сечения плоскостью, проходящей через середину ребра $SC$ и точку $A$ параллельно диагонали $BD$ основания.
Ответ:
Решение:
Дана правильная четырёхугольная пирамида $SABCD$ с вершиной $S$.
а) Постройте её сечение плоскостью, проходящей через середину ребра $AB$ параллельно прямым $SA$ и $BC$.
б) Найдите расстояние между прямыми $AB$ и $SC$, если сторона основания равна 30, а боковое ребро равно $5\sqrt{34}$.
а) Постройте её сечение плоскостью, проходящей через середину ребра $AB$ параллельно прямым $SA$ и $BC$.
б) Найдите расстояние между прямыми $AB$ и $SC$, если сторона основания равна 30, а боковое ребро равно $5\sqrt{34}$.
Ответ:
Решение:
Дана правильная треугольная пирамида $ABCD$ с вершиной $D$.
а) Докажите, что её сечение плоскостью, проходящей через середину ребра $AB$ параллельно прямым $AD$ и $BC$, — прямоугольник.
б) Найдите расстояние между противоположными рёбрами, если сторона основания равна $6\sqrt{3}$, а боковое ребро равно 10.
а) Докажите, что её сечение плоскостью, проходящей через середину ребра $AB$ параллельно прямым $AD$ и $BC$, — прямоугольник.
б) Найдите расстояние между противоположными рёбрами, если сторона основания равна $6\sqrt{3}$, а боковое ребро равно 10.
Ответ:
Решение:
Сторона основания $ABCD$ правильной четырёхугольной пирамиды $SABCD$ равна $4$, боковое ребро равно $6$. Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через середину ребра $AB$ параллельно прямым $BD$ и $AS$.
Ответ:
Решение:
Точка $M$ — середина ребра $SA$ правильной четырёхугольной пирамиды $SABCD$ с основанием $ABCD$. Точка $N$ лежит на ребре $SB$, $SN:NB=1:2$.
а) Докажите, что плоскость $CMN$ параллельна прямой $SD$.
б) Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью $CMN$, если все рёбра пирамиды равны 6.
а) Докажите, что плоскость $CMN$ параллельна прямой $SD$.
б) Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью $CMN$, если все рёбра пирамиды равны 6.
Ответ:
Решение:
Сторона основания $ABCD$ правильной четырёхугольной пирамиды $SABCD$ равна 2, боковое ребро равно 8. Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через середину ребра $AB$ параллельно прямым $BD$ и $AS$.
Ответ:
Решение: