Вычисление, формула Ньютона-Лейбница

Составить рекуррентную формулу для $I_n=\int_{-1}^0x^ne^x\,dx$ ($n\in\mathbb{N}\cup\{0\}$).

Вычислить: $\displaystyle \int_1^{\sqrt3}\frac{3x^2+3x+1}{x^3+x}\,dx$.

Вычислить: $\displaystyle \int_0^1\frac{3x^2+8x+6}{(x+1)^3}\,dx$.

Вычислить: $\displaystyle \int_{-\pi/2}^{\pi/2}\frac{dx}{1+\cos x}$.

Вычислить: $\displaystyle \int_{1/\pi}^{2/\pi}\frac{\sin\frac1x}{x^2}\,dx$.

Вычислить: $\displaystyle \int_{\pi/4}^{\pi/3}\frac{x\,dx}{\sin^2 x}$.

Вычислить: $\displaystyle \int_{0}^{\pi}x^3\sin x\,dx$.

Решить (относительно $x$) уравнение $\int_1^x (2t+4)\,dt=0$.

Решить (относительно $x$) уравнение $\int_x^{2x} \cos t\,dt=0$.

Вычислить $\displaystyle\int_0^{\pi/4}\frac{2+6\cos^2x}{1+\cos 2x}\,dx$.

Вычислить $\displaystyle\int_1^{\sqrt3}\frac{x^2+4}{x^2+1}\,dx$.

Сделав подходящую замену переменной, вычислить $\displaystyle\int_{\pi/6}^{\pi/2}\frac{\cos x\,dx}{\sqrt{\sin x}}$.

Применив формулу интегрирования по частям, вычислить $\displaystyle\int_{-1}^{1/2}\sqrt{1-x^2}\,dx$.
Замечание. Этот интеграл берётся также заменой $x=\sin t$, но, пожалуйста, выполните задание: воспользуйтесь интегрированием по частям.

Сделав подходящую замену переменной, вычислить $\displaystyle\int_{\sin 1}^{\sin\sqrt[3]{e}}\frac{dx}{\arcsin x\sqrt{1-x^2}}$.

Преобразовав подынтегральную функцию и воспользовавшись формулой интегрирования по частям, вычислить $\displaystyle\int_{\pi/4}^{\pi} x\sin^22x\,dx$.

Сделав подходящую замену в определенном интеграле, вычислить $\displaystyle \int_0^{\frac{1}{2}}\frac{2\arcsin x}{\sqrt{1-x^2}}\,dx$.

Сделав подходящую замену в определенном интеграле, вычислить $\displaystyle \int_0^{\frac{\sqrt{\pi}}{2}} 2x\cos x^2\,dx$.

Сделав подходящую замену в определенном интеграле, вычислить $\displaystyle \int_1^e\frac{\ln^2 x\,dx}{x}$.

Сделав подходящую замену в определенном интеграле, вычислить $\displaystyle \int_0^1\frac{e^x\,dx}{1+e^{2x}}$.

Решить (относительно $x$) уравнение: $\displaystyle\int_{\pi/2}^x(2\cos2t+\sin t+\cos t)dt=-\frac12$.