Применения производной. Последние задачи перед контрольной работой
Подборка задач для самоподготовки к контрольной работе, завершающей изучение темы «Исследование функций с помощью производной и построение графиков».
Публичная
К публичным коллекциям
Информация о коллекции
Автор:
Д. В. Моисеев
Создана:
25.09.2025 22:50
Публичная коллекция: Эта коллекция доступна для просмотра всем пользователям.
Войдите, чтобы скопировать коллекцию.
Задачи (18)
№467
Многочлены
Средняя
Исследовать функцию $\displaystyle y=\frac14 (x-3)(x^2+3x+6)$ и построить её график.
№1152
Дробно-рациональные функции
Средняя
Исследовать функцию $$f(x)=\frac{x^2+x+4}{|x+1|}$$ и построить её график. Для каждого $a$ указать количество корней уравнения $$\displaystyle\frac{x^2+x+4}{|x+1|}=\frac34x+a.$$
№616
Другие функции
Средняя
Исследовать функцию $\displaystyle y=e^{-x-1}/x$ и построить её график.
№610
Другие функции
Средняя
Исследовать функцию $\displaystyle y=\ln(x^2+4x+5)$ и построить её график.
№7360
Исследование с помощью производной
Средняя
Найти все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение $$\sqrt{(16-x^2)^3}+ax^2=13a$$ имеет не менее трёх различных корней.
№7361
Исследование с помощью производной
Средняя
Найти все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение $$a\cdot8^{x^2}-12\cdot2^{x^2}=8$$ имеет решение.
№985
Исследование с помощью производной
Средняя
а) Исследовать функцию и построить её график: $\displaystyle f(x)=x^3-3x^2+4$.
б) Найти значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение $x^3-3x^2+4=a$ имеет не более двух корней.
в) Найти значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение $8^x-3\cdot4^x+4=a$ имеет хотя бы один корень.
б) Найти значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение $x^3-3x^2+4=a$ имеет не более двух корней.
в) Найти значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение $8^x-3\cdot4^x+4=a$ имеет хотя бы один корень.
№981
Исследование с помощью производной
Средняя
1. Исследовать функции и построить их графики:
а) $\displaystyle y=\frac{|x|}{\sqrt{x^2+1}}$,
б) $\displaystyle y=\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}$.
Указание. В п. б) рассмотреть пределы функции на $x\to+\infty$ и на $x\to-\infty$.
2*. Найти все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение $$\displaystyle \frac{|x|}{\sqrt{x^2+1}}=ax$$ имеет два корня.
а) $\displaystyle y=\frac{|x|}{\sqrt{x^2+1}}$,
б) $\displaystyle y=\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}$.
Указание. В п. б) рассмотреть пределы функции на $x\to+\infty$ и на $x\to-\infty$.
2*. Найти все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение $$\displaystyle \frac{|x|}{\sqrt{x^2+1}}=ax$$ имеет два корня.
№678
Другие задачи
Средняя
Полезная мощность электродвигателя вычисляется по формуле $P=UI-I^2R-a$, где $R$ — внутреннее сопротивление, $U$ — напряжение, $a$ — потери холостого хода при напряжении $U$. При какой величине тока $I$ полезная мощность будет наибольшей?
№684
Другие задачи
Средняя
Площадь застекленной части окна, имеющего форму прямоугольника, завершенного сверху полукругом, равна $\displaystyle S=\frac{a}{2}\left(p-\frac{\pi+4}{4}a\right)$, где $a$ — ширина окна, $p$ — его периметр. Меняя $a$ (и сохраняя $p$ постоянным), можно добиться того, что окно будет пропускать наибольшее количество света. Найти соответствующее значение $a$.
№687
Другие задачи
Средняя
Если в электрическую цепь сопротивлением $R$ включен электронагревательный прибор сопротивлением $r$, то количество выделенного в нем тепла находится по формуле $Q=E^2 r/(R+r)^2$, где $E$ — постоянная ЭДС. При каком сопротивлении электронагревательного элемента в нем выделится наибольшее количество тепла?
№7363
Другие задачи
Средняя
Доказать неравенство (на естественной области определения): $$x \cdot \ln x^2 \geqslant 2 - 2e^{1-x}$$
№7364
Другие задачи
Средняя
Доказать неравенство (на естественной области определения): $$\sqrt{3-x}+\sqrt{x+1} \leqslant 1+2\sqrt2-\sin\left(\frac{\pi x}{2}\right)$$
№7366
Другие задачи
Средняя
а) Доказать неравенство (на естественной области определения): $\displaystyle \frac{\ln(x-1)}{\ln(x+1)} \leqslant \frac{x-2}{\ln 3}$.
б) Доказать неравенство для всех $x > 1$: $\displaystyle \frac{\ln(x-1)}{\ln(x+1)} \leqslant \frac{x-2}{\ln (x+1)}$.
б) Доказать неравенство для всех $x > 1$: $\displaystyle \frac{\ln(x-1)}{\ln(x+1)} \leqslant \frac{x-2}{\ln (x+1)}$.
№7367
Другие задачи
Сложная
Доказать, что для $x > 0$ выполняется неравенство: $\displaystyle \sin x > x - \frac{x^3}{6}$.
№1136
Наибольшее/наименьшее значение функции на отрезке
Средняя
Найти наибольшее и наименьшее значения функции $f(x)=\cos4x-2\cos2x$ на отрезке $\displaystyle\left[\frac{\pi}{3},~\frac{5\pi}{6}\right]$. Указать, в каких точках достигаются эти значения.
Статистика
18
Всего задачПо сложности:
Средние:
15
Легкие:
2
Сложные:
1
По темам:
Многочлены:
1
Дробно-рациональные...:
1
Другие функции:
2
Исследование с помощ...:
4
Другие задачи:
9
и ещё 1 тем...