Поиск задач
Ищите по условию, ответу и решению. Можно сузить поиск темой, сложностью и источником, а ввод одного числа — это поиск задачи по её номеру.
Найдено задач: 383
У Винтика и у Шпунтика есть по три палочки суммарной длины $1$ метр у каждого. И Винтик, и Шпунтик могут сложить из трёх своих палочек треугольник. Ночью в их дом прокрался Незнайка, взял по одной палочке у Винтика и у Шпунтика и поменял их местами. Наутро оказалось, что Винтик не может сложить из своих палочек треугольник. Можно ли гарантировать, что Шпунтик из своих сможет?
Ответ:
Решение:
В равнобедренном треугольнике $ABC$ на основании $BC$ взята точка $D$, а на боковой стороне $AB$ — точки $E$ и $M$ так, что $AM=ME$ и отрезок $DM$ параллелен стороне $AC$. Докажите, что $AD+DE\gt AB+BE$.
Ответ:
Решение:
В треугольнике $ABC$ высоты или их продолжения пересекаются в точке $H$, а $R$ — радиус описанной около него окружности. Докажите, что если $\angle A\leqslant\angle B\leqslant\angle C$, то $AH+BH\geqslant 2R$.
Ответ:
Решение:
Из шести палочек попарно различной длины сложены два треугольника (по три палочки в каждом). Всегда ли можно сложить из них один треугольник, стороны которого состоят из одной, двух и трех палочек соответственно?
Ответ:
Решение:
Единичный квадрат разрезан на $n$ треугольников. Докажите, что одним из треугольников можно накрыть квадрат со стороной $1/n$.
Ответ:
Решение:
Карлсон ест треугольный торт. Он режет торт по биссектрисе одного из углов, съедает одну из частей, а с другой повторяет ту же операцию. Если Карлсон съест больше половины торта, он станет не в меру упитанным мужчиной в самом расцвете сил. Докажите, что рано или поздно это произойдёт.
Ответ:
Решение:
На стороне $AC$ треугольника $ABC$ взяли такую точку $D$, что угол $BDC$ равен углу $ABC$. Чему равно наименьшее возможное расстояние между центрами окружностей, описанных около треугольников $ABC$ и $ABD$, если $BC=1$?
Ответ:
Решение:
На стороне $BC$ треугольника $ABC$ выбраны точки $D$ и $E$ так, что $BD=DE=CE$. На отрезках $AB$, $AC$, $AE$ и $AD$ выбраны точки $L$, $K$, $P$ и $Q$ (все ранее названные точки различны) соответственно так, что \[\angle EAD=\angle PDE=\angle QED=\angle AKP=\angle ALQ.\] Докажите, что $LK+DE\leqslant AD+AE$.
Ответ:
Решение:
Дан остроугольный треугольник $ABC$. На его описанной окружности отмечена точка $D$, диаметрально противоположная вершине $A$. Точки $X$ и $Y$ на стороне $BC$ таковы, что $BX=XD$ и $CY=YD$ (точка $X$ лежит на отрезке $BY$). Докажите, что $DA$ — биссектриса угла $XDY$.
Ответ:
Решение:
На стороне $AB$ прямоугольника $ABCD$ выбрана точка $M$. Через эту точку проведён перпендикуляр к прямой $CM$, который пересекает сторону $AD$ в точке $E$. Точка $P$ — основание перпендикуляра, опущенного из точки $M$ на прямую $CE$. Найдите угол $APB$.
Ответ:
Решение:
В треугольнике $ABC$, где угол $B$ прямой, а угол $A$ меньше угла $C$, проведена медиана $BM$. На стороне $AC$ взята точка $L$ так, что $\angle ABM=\angle MBL$. Описанная окружность треугольника $BML$ пересекает сторону $AB$ в точке $N$. Докажите, что $AN=BL$.
Ответ:
Решение:
Дан треугольник $ABC$. Обозначим через $M$ середину стороны $AC$, а через $P$ — середину отрезка $CM$. Описанная окружность треугольника $ABP$ пересекает сторону $BC$ во внутренней точке $Q$. Докажите, что $\angle ABM=\angle MQP$.
Ответ:
Решение:
На основании $AC$ равнобедренного треугольника $ABC$ взяли произвольную точку $X$, а на боковых сторонах — точки $P$ и $Q$ так, что $XPBQ$ — параллелограмм. Докажите, что точка $Y$, симметричная точке $X$ относительно $PQ$, лежит на описанной окружности треугольника $ABC$.
Ответ:
Решение:
Внутри трапеции $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ отмечены точки $M$ и $N$ так, что $AM=CN$ и $BM=DN$, а четырёхугольники $AMND$ и $BMNC$ — вписанные. Докажите, что прямая $MN$ параллельна основаниям трапеции.
Ответ:
Решение:
Точка $O$ — центр описанной окружности треугольника $ABC$, $AH$ — его высота. Точка $P$ — основание перпендикуляра, опущенного из точки $A$ на прямую $CO$. Докажите, что прямая $HP$ проходит через середину отрезка $AB$.
Ответ:
Решение:
В остроугольном треугольнике $ABC$ точка $O$ — центр описанной окружности. Точка $B_1$ симметрична точке $B$ относительно стороны $AC$. Прямые $AO$ и $B_1C$ пересекаются в точке $K$. Докажите, что луч $KA$ является биссектрисой угла $BKB_1$.
Ответ:
Решение:
В остроугольном треугольнике $ABC$ проведена биссектриса $AL$. На продолжении отрезка $LA$ за точку $A$ выбрана точка $K$ так, что $AK=AL$. Описанные окружности треугольников $BLK$ и $CLK$ пересекают отрезки $AC$ и $AB$ в точках $P$ и $Q$ соответственно. Докажите, что прямые $PQ$ и $BC$ параллельны.
Ответ:
Решение:
Прямоугольники $ABCD$ и $DEFG$ расположены так, что точка $D$ лежит на отрезке $BF$, а точки $B$, $C$, $E$, $F$ лежат на одной окружности (см. рисунок).
Докажите, что $\angle ACE=\angle CEG$.
Докажите, что $\angle ACE=\angle CEG$.
Ответ:
Решение:
Пусть $ABCD$ — параллелограмм, отличный от прямоугольника, а точка $P$ выбрана внутри него так, что описанные окружности треугольников $PAB$ и $PCD$ имеют общую хорду, перпендикулярную $AD$. Докажите, что радиусы данных окружностей равны.
Ответ:
Решение:
Точка $O$ — центр описанной окружности остроугольного треугольника $ABC$. Прямая, перпендикулярная стороне $AC$, пересекает сторону $BC$ и прямую $AB$ в точках $Q$ и $P$ соответственно. Докажите, что точки $B$, $O$ и середины отрезков $AP$ и $CQ$ лежат на одной окружности.
Ответ:
Решение: