Поиск задач
Ищите по условию, ответу и решению. Можно сузить поиск темой, сложностью и источником, а ввод одного числа — это поиск задачи по её номеру.
Найдено задач: 1118
Найдите наибольшее натуральное $n$, для которого число $6500!$ делится на каждое из чисел $k^k$ при $k=1,2,3,\ldots,n$.
Ответ:
Решение:
Ответ:
Решение:
Функция $f$ определена на множестве положительных рациональных чисел. Известно, что для любых чисел $a$ и $b$ из этого множества выполнено равенство $f(ab)=f(a)+f(b)$, и при этом $f(p)=[p/4]$ для любого простого числа $p$ ($[x]$ обозначает наибольшее целое число, не превосходящее $x$). Найдите количество пар натуральных чисел $(x;y)$ таких, что $1\leqslant x\leqslant 24$, $1\leqslant y\leqslant 24$ и $f(x/y)\lt 0$.
Ответ:
Решение:
Сколько существует троек целых чисел $(a;b;c)$ таких, что они образуют в указанном порядке геометрическую прогрессию, а их произведение $abc$ равно $2^{150}\cdot 3^{150}$?
Ответ:
Решение:
Найдите все пары $(m,n)$ натуральных чисел, для которых одно из чисел \[A=m^2+2mn+n^2-9m-9n\quad\text{и}\quad B=m^2n+mn^2-3mn\] равно $13p^2$, а другое равно $75q^2$, где $p$ и $q$ — простые числа.
Ответ:
Решение:
Из множества $M$, состоящего из семи подряд идущих натуральных чисел, выбираются шестёрки попарно различных чисел такие, что сумма чисел в каждой из шестёрок — простое число. Пусть $p$ и $q$ — две из таких сумм. Найдите множество $M$, если $p^2-q^2=792$.
Ответ:
Решение:
Натуральное число $N$ имеет 198 различных натуральных делителей (включая единицу и само число $N$), а количество различных натуральных делителей числа $13N$ (включая единицу и само число $13N$) равно 264. Определите минимально возможное значение $N$.
Ответ:
Решение:
Сумма пяти подряд идущих двузначных чисел имеет ровно $6$ делителей. Найдите все возможные значения суммы исходных чисел.
Ответ:
Решение:
Функция $f$ определена на множестве положительных рациональных чисел. Известно, что для любых чисел $a$ и $b$ из этого множества выполнено равенство $f(ab)=f(a)+f(b)$, и при этом $f(p)=[p/2]$ для любого простого числа $p$ ($[x]$ обозначает наибольшее целое число, не превосходящее $x$). Найдите количество пар натуральных чисел $(x;y)$ таких, что $1\leqslant x\leqslant 21$, $1\leqslant y\leqslant 21$ и $f(x/y)\lt 0$.
Ответ:
Решение:
Функция $f$ определена на множестве положительных рациональных чисел. Известно, что для любых чисел $a$ и $b$ из этого множества выполнено равенство $f(ab)=f(a)+f(b)$, и при этом $f(p)=p$ для любого простого числа $p$. Найдите количество пар натуральных чисел $(x;y)$ таких, что $1\leqslant x\leqslant18$, $1\leqslant y\leqslant18$ и $f(x/y)\lt 0$.
Ответ:
Решение:
Ответ:
Решение:
Найдите количество натуральных чисел $k$, не превосходящих $291000$ и таких, что $k^2-1$ делится нацело на $291$.
Ответ:
Решение:
Найдите количество натуральных чисел $k$, не превосходящих $242400$ и таких, что $k^2+2k$ делится нацело на $303$.
Ответ:
Решение:
Найдите наименьшее натуральное $x$, при котором из того, что $15m+4n$ делится на 31, следует, что $17m+xn$ также делится на 31 ($m$ и $n$ — натуральные).
Ответ:
Решение:
Найдите наименьшее натуральное $x$, при котором из того, что $11m+3n$ делится на 23, следует, что $17m+xn$ также делится на 23 ($m$ и $n$ — натуральные).
Ответ:
Решение:
Известно, что число $3x-11y$ делится без остатка на число 130. Сколько различных остатков может давать число $4x+20y$ при делении на число 130, если известно, что $x$ и $y$ — целые?
Ответ:
Решение:
Найдите количество всех пар натуральных чисел $(x;y)$, при которых является верным равенство \[x^2+x+5y=1\,000\,002.\]
Ответ:
Решение:
Олег выписал в строку 110 последовательных натуральных чисел, больших $50\,000$. Оказалось, что 12-е число делится на 12, 75-е — на 75, а 110-е — на 110. Какое наименьшее число могло быть среди выписанных Олегом чисел?
Ответ:
Решение: