Поиск задач

Ищите по условию, ответу и решению. Можно сузить поиск темой, сложностью и источником, а ввод одного числа — это поиск задачи по её номеру.

Найдено задач: 331
9271
Функция $f(x)$ удовлетворяет при каждом значении $x$ равенству\[f(x+2)=f(x)+4x+4.\]Найдите $f(2012)$, если $f(2)=0$.
Ответ:
Решение:
9283
Функция $f$, заданная на множестве целых чисел, удовлетворяет условиям:
  • $f(1)+1\gt 0$;
  • $f(x+y)-xf(y)-yf(x)=f(x)f(y)-x-y+xy$ при любых $x,y\in\mathbb Z$;
  • $2f(x)=f(x+1)-x+1$ при любых $x\in\mathbb Z$.
Найдите $f(10)$.
Ответ:
Решение:
9291
Найдите главный (наименьший положительный) период функции \[ y=\left(\arcsin\left(\sin\left(\arccos\left(\cos3x\right)\right)\right)\right)^{-5}. \]
Ответ:
Решение:
9312
Пусть $f(x)=x^2+10x+20$. Решите уравнение \[ f\bigl(f\bigl(f\bigl(f(f(x))\bigr)\bigr)\bigr)=0. \]
Ответ:
Решение:
9321
График квадратичной функции $f(x)=x^2+2px-p^2+7p-2015$ пересекает координатные оси в трёх точках $A$, $B$ и $C$. Найдите значение $p$, при котором произведение длин отрезков $OA\cdot OB\cdot OC$ будет наименьшим.
Ответ:
Решение:
9343
Какие наибольшее и наименьшее значения может принимать произведение двух чисел при условии, что их сумма принадлежит отрезку $[4;5]$, а разность — отрезку $[11;12]$?
Ответ:
Решение:
9361
Найдите область значений функции \[ f(x)=\log_2 x\cdot\log_2\frac{64}{x}\cdot\sqrt{\log_3(27-3x)\cdot\log_3\frac{9}{27-3x}}. \]
Ответ:
Решение:
9362
Найдите наибольшее значение $x+y$, если числа $x$ и $y$ удовлетворяют неравенству \[ \log_{\frac{x^2+y^2}{2}} y\geqslant1. \]
Ответ:
Решение:
9363
Найдите наименьшее значение выражения\[\frac{1}{1-x^2}+\frac{4}{4-y^2}\]при условиях $|x|\lt 1$, $|y|\lt 2$ и $xy=1$.
Ответ:
Решение:
9364
На графике функции $y=x+\dfrac1x$, где $x\gt 0$, найдите точку, ближайшую к началу координат.
Ответ:
Решение:
9365
Найдите наименьшее значение функции $f(x)=x+\dfrac1x+\dfrac{x}{x^2+1}$ при $x\gt 0$.
Ответ:
Решение:
9366
Найдите минимальное значение выражения\[\frac{2bc-2a^2+2a}{2a}+\frac{2ca-2b^2+2b}{2b}+\frac{2ab-2c^2+2c}{2c},\qquad a,b,c\gt 0.\]
Ответ:
Решение:
9367
Найдите наибольшее значение произведения \[ \operatorname{tg}x\operatorname{tg}y\operatorname{tg}z, \] где \[ 0\lt x,y,z\lt \frac{\pi}{2},\quad x+y+z=\frac{\pi}{2}. \]
Ответ:
Решение:
9389
Решите неравенство $\operatorname{tg}\arccos x\leqslant\sin\operatorname{arctg}x$.
Ответ:
Решение:
9394
Решите неравенство \[ \arcsin\Bigl(\dfrac{5}{2\pi}\arccos x\Bigr)\gt \arccos\Bigl(\dfrac{10}{3\pi}\arcsin x\Bigr). \]
Ответ:
Решение:
9413
Решите систему уравнений: \[ \begin{cases} \sqrt{x^2+y}+|y+8|=1,\\ \sqrt{x^2+y-1}+|x+8|=5. \end{cases} \]
Ответ:
Решение:
9435
Решите уравнение \[ \log_2\left(|x^2-2|^3+1\right)+\sqrt{4x^4-3x^2+5}=\sqrt{2x^4+5x^2-3}. \]
Ответ:
Решение:
9453
Найдите все такие наборы чисел $x_1,x_2,\ldots,x_{n+1}$, что $x_1=x_{n+1}$ и при всех $k=1,\ldots,n$ выполнено равенство \[ 2\log_2 x_k\cdot\log_2 x_{k+1}-\log_2^2 x_k=9. \]
Ответ:
Решение:
9482
Решите неравенство \[ 4(1-\mathrm{tg}\,x)^{2004}+(1+\mathrm{tg}\,x)^{2006}\geqslant 2^{2006}. \]
Ответ:
Решение:
9483
Найдите все решения неравенства: \[ \sin^{2018}x+\cos^{-2019}x\geqslant\cos^{2018}x+\sin^{-2019}x, \] принадлежащие отрезку $\left[-\dfrac{\pi}{4};\dfrac{7\pi}{4}\right]$.
Ответ:
Решение: