Поиск задач
Ищите по условию, ответу и решению. Можно сузить поиск темой, сложностью и источником, а ввод одного числа — это поиск задачи по её номеру.
Найдено задач: 1118
Решите систему уравнений \[ \begin{cases} x^2-y^2=2x+4y-3z,\\ y^2-z^2=x-3y+4z,\\ z^2-x^2=-3x+y-5z. \end{cases} \]
Ответ:
Решение:
Решите систему \[ \begin{cases} |x-3-y|+|x-3+y|\leqslant6,\\ (|x|-3)^2+(|y|-4)^2=25. \end{cases} \]
Ответ:
Решение:
Числа $a$, $b$ и $c$ не все равны между собой, и при этом \[a+\dfrac5b=b+\dfrac5c=c+\dfrac5a.\] Найдите минимально возможное значение произведения $abc$.
Ответ:
Решение:
Числа $x$, $y$ и $z$ не все равны между собой, и при этом \[ x^3+\frac{7}{y^3}=y^3+\frac{7}{z^3}=z^3+\frac{7}{x^3}. \] Найдите минимально возможное значение произведения $xyz$.
Ответ:
Решение:
Решите систему уравнений \[\begin{cases} x^2-2xy+y^3-3y^2-1=0,\\ 2x-xy-y^3+5y^2-3y+2=0.\end{cases}\]
Ответ:
Решение:
Найдите все пары действительных параметров $a$ и $b$, при каждой из которых система уравнений \[ \begin{cases} 3(a+b)x+12y=a,\\ 4bx+(a+b)by=1 \end{cases} \] имеет бесконечно много решений.
Ответ:
Решение:
Найдите все тройки целочисленных параметров $a$, $b$ и $c$, при каждой из которых система уравнений \[ \begin{cases} ax+2y+cz=c,\\ 3x+by+4z=4b \end{cases} \] не имеет решений.
Ответ:
Решение:
Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых для множества точек плоскости $Oxy$, задаваемых уравнением \[ x^2+y^2=a^2, \] наибольшее значение выражения $x^2-6x+a$ равно $8$.
Ответ:
Решение:
Найдите наименьшее значение параметра $a$, при котором уравнения \[ 5x^2-11x+2=0 \quad\text{и}\quad 2x^2-(a+2)x+a=0 \] имеют общий корень.
Ответ:
Решение:
Найдите количество целых значений параметра $p$, при которых график функции \[ y=x^2+px+p^2+2p-3 \] пересекает ось $X$ в точках с абсциссами разных знаков.
Ответ:
Решение:
При каком значении параметра $a$ значение выражения $x_1^2+x_2^2$ будет наименьшим, если $x_1$ и $x_2$ — корни уравнения $x^2+ax+a-2=0$?
Ответ:
Решение:
При каком значении параметра $a$ значение выражения $x_1^2+x_2^2$ будет наименьшим, если $x_1$ и $x_2$ — корни уравнения $x^2-2ax+2a-5=0$?
Ответ:
Решение:
Найдите все значения параметра $t$, при каждом из которых уравнение $x^2+4\sqrt{2}tx+9t^2-9=0$ имеет два различных действительных корня, а их произведение положительно.
Ответ:
Решение:
Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение \[ 4x^2-(4a+8)x+a^2+4a=0 \] имеет два действительных корня, которые отличаются ровно в $5$ раз.
Ответ:
Решение:
Найдите количество целых значений параметра $a$, при каждом из которых уравнение \[ (a^2+a+1)x^2+(7a+2)x+(a-1)=0 \] имеет два корня, один из которых больше $2$, а другой — меньше $2$.
Ответ:
Решение:
При каком значении параметра $a$ значение выражения $x_1^2+x_2^2$ будет наименьшим, если $x_1$ и $x_2$ — корни уравнения $x^2+4ax+4a-3=0$?
Ответ:
Решение:
Найдите все значения параметра $a$, при которых
- корни уравнения \[x^2-(a^2-a)x+a-5=0\] являются пятым и шестым членами некоторой непостоянной арифметической прогрессии,
- а корни уравнения \[4x^2-(a^3-a^2)x+2a^4+2a^2-a^6-4=0\] являются третьим и восьмым членами этой прогрессии.
Ответ:
Решение:
Найдите все значения параметра $a$, для каждого из которых существует значение параметра $b$ такое, что уравнение \[ 5x^2+(2a+9)x+7a-10b=0 \] имеет два корня $x_1$ и $x_2$ таких, что $5\leqslant x_1\leqslant10$ и $14\leqslant x_2\leqslant15$.
Ответ:
Решение:
Числа $a$, $b$ и $c$ таковы, что \[ a+b+c=13 \quad\text{и}\quad \dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{a+c}=0{,}4. \] Найдите значение выражения \[ \dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b}. \]
Ответ:
Решение:
Найдите значение выражения \[ \dfrac{1}{a^2-ac-ab+bc}+\dfrac{2}{b^2-ab-bc+ac}+\dfrac{1}{c^2-ac-bc+ab} \] при $a=1{,}67$, $b=1{,}71$ и $c=0{,}46$.
Ответ:
Решение: