Поиск задач
Ищите по условию, ответу и решению. Можно сузить поиск темой, сложностью и источником, а ввод одного числа — это поиск задачи по её номеру.
Найдено задач: 331
Решите уравнение: \[ \left|x^2+y^3-19\right|+\left|x^2y+xy^2+6\right|+\frac{x|y|-y|x|+2xy}{xy}=0. \]
Ответ:
Решение:
Расшифруйте ребус (разные буквы означают разные цифры) и найдите значение выражения в нижней строке:\[\begin{array}{ccccccc}\text{Л}&\times&\text{О}&=&\text{М}\\+&&:&&+\\\text{О}&\times&\text{Н}&=&\text{О}\\\shortparallel&&\shortparallel&&\shortparallel\\\text{С}&-&\text{О}&+&\text{В}&=&?\end{array}\]
Ответ:
Решение:
Миша выписал на доске подряд все натуральные числа от 7 до 2020. Пришла Маша и заменила каждое из этих чисел суммой его цифр. Пришёл Ваня и сделал то же самое с получившимися числами. Так продолжалось до тех пор, пока на доске не осталось 2014 однозначных чисел (цифр). Какова сумма всех оставшихся чисел?
Ответ:
Решение:
Найдите сумму цифр числа $A$, если $A=2^{63}\cdot4^{25}\cdot5^{106}-2^{22}\cdot4^{44}\cdot5^{105}-1$.
Ответ:
Решение:
Найдите все четырёхзначные натуральные числа $n$, обладающие свойством, что \[ \text{первые несколько цифр числа } n^2 \text{ образуют число } n. \] Если таких чисел несколько, в ответ запишите наименьшее из них, если таких чисел нет, в ответ запишите 0.
Ответ:
Решение:
Ответ:
Решение:
Найдите все такие трёхзначные числа $\overline{LOM}$, состоящие из различных цифр $L$, $O$ и $M$, для которых выполняется равенство:\[\overline{LOM}=(L+O+M)^2+L+O+M.\]
Ответ:
Решение:
Вовочка складывает числа в столбик следующим образом: он не запоминает десятки, а под каждой парой цифр в одинаковых разрядах пишет их сумму, даже если она двузначна. Например, для суммы $248+208$ он получил бы значение 4416. Найдите наименьшую возможную разность между ответом Вовочки и верным ответом.
Ответ:
Решение:
Загадано 2022-значное натуральное число, любые две соседние цифры которого (расположенные в том же порядке) образуют двузначное число, делящееся или на 19, или на 23. Загаданное число начинается с цифры 4. Какой цифрой оно заканчивается?
Ответ:
Решение:
Обозначим через $s(n)$ число цифр в десятичной записи натурального числа $n$. Найдите сумму $s(2^{2023})+s(5^{2023})$.
Ответ:
Решение:
В множество $A$ входят все такие натуральные числа, которые при делении на сумму своих цифр дают целое число, кратное 9 (не обязательно одно и то же для всех этих чисел). Найдите все трехзначные числа, входящие в множество $A$ и, расположив их в порядке возрастания, найдите сумму первого из них, шестого и последнего.
Ответ:
Решение:
Пусть $S(n)$ означает сумму цифр натурального числа $n$. Найти наибольшее 100-значное натуральное число $n$, удовлетворяющее условию: для всех натуральных $m$ ($1\leqslant m\leqslant n$) справедливы равенства $S(mn)=S(n)$.
Ответ:
Решение:
Назовём натуральное число счастливым, если все его цифры можно разбить на две группы, сумма цифр в каждой из которых одинакова. Примеры: 38221 ($3+2+2+1=8$), 5678 ($5+8=6+7$). Назовем число суперсчастливым, если оно счастливое и следующее за ним целое число тоже счастливое. Найдите количество суперсчастливых чисел на отрезке $[400;2400]$.
Ответ:
Решение:
Для укладки пола в квадратной комнате купили одинаковые квадратные плитки. 15 плиток оказались разбитыми. Оставшимися плитками выложили пол в другой комнате прямоугольной формы, в длину которой укладывается на 11 плиток больше, чем в ширину. Сколько плиток было куплено?
Ответ:
Решение:
Длина, ширина и высота прямой прямоугольной призмы выражаются тремя попарно различными натуральными числами. Сумма числовых значений объема призмы, площади ее полной поверхности и суммы длин всех ее ребер равна 2026. Найдите наименьшее возможное значение объема такой призмы.
Ответ:
Решение:
Найдите периметр выпуклого многоугольника, множество вершин которого в координатной записи совпадает с множеством целочисленных пар решений уравнения\[x^2+xy=x+2y+9.\]
Ответ:
Решение:
Найдите все натуральные $k$, при которых число $k^2-101k$ является точным квадратом, т. е. квадратом целого числа.
Ответ:
Решение:
Из бумаги вырезали два разных прямоугольника — но у каждого длины сторон выражаются натуральными числами, и у каждого периметр численно равен его площади. Оба прямоугольника положили на стол, один на другой, так, что некоторые стороны одного прямоугольника оказались параллельны некоторым сторонам другого — и какая-то часть столешницы оказалась накрыта всего одним слоем бумаги. Какая наименьшая возможная площадь этой части столешницы?
Ответ:
Решение:
Найдите все пары натуральных чисел $(m,n)$, для которых выполняется равенство\[n(n-1)(n-2)(n-3)=m(m-1).\]
Ответ:
Решение:
Прямоугольная таблица состоит из 5863 одинаковых клеток. Петя и Вася пронумеровали клетки натуральными числами $1,2,\ldots,5863$ подряд. Петя нумеровал клетки по строкам слева направо (сначала первую строку, затем вторую и т. д.), а Вася — по столбцам сверху вниз (сначала первый столбец, затем второй и т. д.). Оказалось, что ровно в 7 клетках их номера совпали. Чему равна сумма числа строк и числа столбцов в этой таблице?
Ответ:
Решение: