Поиск задач
Ищите по условию, ответу и решению. Можно сузить поиск темой, сложностью и источником, а ввод одного числа — это поиск задачи по её номеру.
Найдено задач: 258
Ребро куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ равно 1. Найти радиус сферы, касающейся:\ а) ребер $BA$, $BB_1$, $BC$ и плоскости $A_1DC_1$;\ б) ребер $BA$, $BB_1$, $BC$ и прямой $DA_1$.
Ответ:
Решение:
В пирамиде $ABCD$ длина отрезка $BD$ равна $5/2$, точка $E$ — середина $AB$, а $F$ — точка пересечения медиан грани $BCD$, причем $EF=8$. Сфера радиуса 5 касается плоскостей $ABD$ и $BCD$ в точках $E$ и $F$ соответственно. Найти двугранный угол между гранями $ABD$ и $BCD$, площадь грани $BCD$ и объем пирамиды $ABCD$.
Ответ:
Решение:
Вписанные окружности граней $SBC$, $SAC$ и $SAB$ треугольной пирамиды $SABC$ пересекаются и имеют радиусы $\sqrt3$, $\sqrt5$ и $\sqrt7$ соответственно. Точка $K$ является точкой касания окружностей со стороной $SA$, причем $SK=5$. Найти длину отрезка $AK$, периметр и радиус вписанной окружности треугольника $ABC$.
Ответ:
Решение:
Сфера касается боковых граней четырёхугольной пирамиды $SABCD$ в точках, лежащих на рёбрах $AB$, $BC$, $CD$, $DA$. Известно, что высота пирамиды равна $2\sqrt5$, $AB=6$, $SA=5$, $SB=7$, $SC=2\sqrt{10}$. Найти длины рёбер $BC$ и $CD$, радиус сферы и двугранный угол при ребре $SD$.
Ответ:
Решение:
В основании призмы $ABCDA_1B_1C_1D_1$ лежит равнобокая трапеция $ABCD$ ($AD\parallel BC$). Сфера радиуса 3 с центром в плоскости $AA_1D_1D$ касается плоскостей $ABCD$, $A_1B_1C_1D_1$ и прямых $AA_1$, $BB_1$, $CC_1$, $DD_1$. Известно, что $A_1D_1=7$, $BC=5$. Найти:
- угол между прямыми $AD$ и $BB_1$;
- двугранный угол между гранями $BB_1C_1C$ и $CC_1D_1D$;
- объём призмы.
Ответ:
Решение:
В треугольной пирамиде $ABCD$ сфера касается граней $ACD$ и $BCD$ в точках $B_1$ и $A_1$, являющихся основаниями высот пирамиды, и пересекает ребро $AB$ в точках $K$ и $L$. Известно, что $AB=\sqrt{10}$, $KL=\sqrt{\dfrac{10}{3}}$, $BC=\sqrt{\dfrac{35}{2}}$, $AD=5$. Найти расстояние между рёбрами $AB$ и $CD$, радиус окружности, высекаемой на сфере плоскостью $ABC$, и объём пирамиды $ABCD$.
Ответ:
Решение:
В пирамиде $ABCD$ грани $ABC$ и $ADC$ являются равнобедренными треугольниками с общим основанием $AC$. Сфера радиуса $R$ с центром в точке $O$, лежащей на грани $ABC$, касается всех рёбер пирамиды $ABCD$. Найти длины отрезков, на которые точки касания сферы делят рёбра пирамиды, и объём пирамиды $ABCD$, если угол $ABC$ равен $2\alpha$. Найти значение угла $ABC$, при котором объём пирамиды $ABCD$ будет наименьшим. Найти это наименьшее значение объёма пирамиды $ABCD$.
Ответ:
Решение:
На основании $ABCD$ четырёхугольной пирамиды $SABCD$ расположена точка $O$. Сфера с центром в точке $O$ касается прямых $SA$, $SB$, $SC$, $SD$ в точках $A$, $B$, $K$, $L$ соответственно. Известно, что $AB=KL=2\sqrt5$, $AL=2$, $BK=6$, а отрезок $SO$ составляет с плоскостью $ABCD$ угол $\arccos\dfrac23$. Найти длины отрезков $AK$, $OS$ и $SD$.
Ответ:
Решение:
В основании пирамиды $SABCD$ лежит параллелограмм $ABCD$. Сфера $\omega$ радиуса $\dfrac{15}{14}$ с центром $O$ касается рёбер $AS$, $BS$, $AD$, $BC$ пирамиды $SABCD$ соответственно в точках $K$, $L$, $M$, $N$, пересекает ребро $AB$ в точках $P$ и $Q$ и касается грани $CDS$. Известно, что прямая $SO$ перпендикулярна плоскости $ABCD$ и пересекает её в точке $H$, $\dfrac{AB}{PQ}=\dfrac{4}{\sqrt7}$, $\dfrac{AS}{LS}=\dfrac32$. Найти $\angle SAB$, $\angle SBH$, высоту пирамиды и её объём.
Ответ:
Решение:
Тело в форме тетраэдра $ABCD$ с одинаковыми ребрами поставлено гранью $ABC$ на плоскость. Точка $F$ — середина ребра $CD$, точка $S$ лежит на прямой $AB$, $S\neq A$, $AB=BS$. В точку $S$ сажают муравья. Как должен муравей ползти в точку $F$, чтобы пройденный им путь был минимальным?
Ответ:
Решение:
Ответ:
Решение:
Ответ:
Решение:
Ответ:
Решение:
Решить неравенство \[ \log_8\left(\frac13-x\right)\log_{\left|2x+\frac13\right|}\left(\frac13-x\right)\gt \log_2\frac{\frac13-x}{\sqrt[3]{\left(2x+\frac13\right)^2}}. \]
Ответ:
Решение:
Ответ:
Решение: