Поиск задач
Ищите по условию, ответу и решению. Можно сузить поиск темой, сложностью и источником, а ввод одного числа — это поиск задачи по её номеру.
Найдено задач: 1597
Простое число $p$ таково, что числа \[ 15p-15 \quad\text{и}\quad 16p-15 \] являются точными квадратами. Чему может быть равно $p$? Укажите все возможные варианты в любом порядке.
Ответ:
Решение:
На новогодний вечер пришли несколько супружеских пар, у каждой из которых было от 1 до 10 детей. Дед Мороз выбирал одного ребёнка, одну маму и одного папу из трёх разных семей и катал их в санях. Оказалось, что у него было ровно 3630 способов выбрать нужную тройку людей. Сколько всего могло быть детей на этом вечере?
Ответ:
Решение:
Какое наибольшее количество натуральных чисел, не превосходящих 2016, можно отметить так, чтобы произведение любых двух отмеченных чисел было бы точным квадратом?
Ответ:
Решение:
Натуральные числа $a$ и $b$ таковы, что $a^a$ делится на $b^b$, однако $a$ не делится на $b$. Найдите наименьшее возможное значение числа $a+b$, если известно, что число $b$ взаимно просто с 210.
Ответ:
Решение:
У Пети есть три палочки, длины которых равны $a$ см, $b$ см и $c$ см. Известно, что числа $a$, $b$ и $c$ натуральные, различные, и $ac=b^2$. Петя смог сложить из своих палочек треугольник.
1. Какой наименьший периметр мог быть у этого треугольника?
2. Пусть $b=72$. Какой периметр мог быть у этого треугольника? Укажите все варианты в любом порядке.
1. Какой наименьший периметр мог быть у этого треугольника?
2. Пусть $b=72$. Какой периметр мог быть у этого треугольника? Укажите все варианты в любом порядке.
Ответ:
Решение:
У Маши есть книги с номерами от 1 до 2025 и очень длинная книжная полка. Сначала Маша поставила книгу номер 1 на полку. Далее Маша каждый раз берёт книгу со следующим номером $n$ и ставит её непосредственно справа от книги с номером $m$, где $m$ — наибольший собственный делитель $n$. Так продолжается, пока Маша не поставит все книги.
а) Чему равен номер книги справа от книги с номером 33?
б) Чему равен номер книги слева от книги с номером 33?
Напомним, что собственным делителем числа называется всякий его делитель, отличный от самого числа.
а) Чему равен номер книги справа от книги с номером 33?
б) Чему равен номер книги слева от книги с номером 33?
Напомним, что собственным делителем числа называется всякий его делитель, отличный от самого числа.
Ответ:
Решение:
На доску выписали все собственные делители некоторого составного натурального числа $n$, увеличенные на 1. Найдите все такие числа $n$, для которых числа на доске окажутся всеми собственными делителями некоторого натурального числа $m$. (Собственными делителями натурального числа $a\gt 1$ называются все его натуральные делители, отличные от $a$ и от 1.)
Ответ:
Решение:
Изначально на доске записаны несколько натуральных чисел (больше одного). Затем каждую минуту на доску дописывается число, равное сумме квадратов всех уже записанных на ней чисел (так, если бы на доске изначально были записаны числа 1, 2, 2, то на первой минуте было бы дописано число $1^2+2^2+2^2$). Докажите, что сотое дописанное число имеет хотя бы 100 различных простых делителей.
Ответ:
Решение:
Пусть $a_1$, $a_2$, $a_3$, $\ldots$ — бесконечная возрастающая последовательность натуральных чисел, а $p_1$, $p_2$, $p_3$, $\ldots$ — последовательность простых чисел такая, что при каждом натуральном $n$ число $a_n$ делится на $p_n$. Оказалось, что при всех натуральных $n$ и $k$ верно равенство $a_n-a_k=p_n-p_k$. Докажите, что все числа $a_1$, $a_2$, $\ldots$ простые.
Ответ:
Решение:
В детском саду воспитательница взяла $n\gt 1$ одинаковых картонных прямоугольников и раздала их $n$ детям, каждому по прямоугольнику. Каждый ребёнок разрезал свой прямоугольник на несколько одинаковых квадратиков (квадратики у разных детей могли быть разными). Оказалось, что общее количество квадратиков — простое число. Докажите, что исходные прямоугольники были квадратами.
Ответ:
Решение:
Рассмотрим такие натуральные числа $a$, $b$ и $c$, что дробь \[ k=\dfrac{ab+c^2}{a+b} \] является натуральным числом, меньшим $a$ и $b$. Какое наименьшее количество натуральных делителей может быть у числа $a+b$?
Ответ:
Решение:
Назовём главными делителями составного числа $n$ два наибольших его натуральных делителя, отличных от $n$. Составные натуральные числа $a$ и $b$ таковы, что главные делители числа $a$ совпадают с главными делителями числа $b$. Докажите, что $a=b$.
Ответ:
Решение:
Докажите, что найдётся такое натуральное число $n\gt 10^{2018}$, что сумма всех простых чисел, меньших $n$, взаимно проста с $n$.
Ответ:
Решение:
Найдите все тройки (не обязательно различных) натуральных чисел $a, b, c$ такие, что каждое из чисел \[ a+bc,\quad b+ca,\quad c+ab \] является простым делителем числа $(a^2+1)(b^2+1)(c^2+1)$.
Ответ:
Решение:
У Саши было 47 палочек. Использовав их все, он сложил несколько букв «Б» и «В», изображённых на рисунке. Какое наибольшее количество букв «Б» могло получиться у Саши?
Ответ:
Решение:
Сколько существует натуральных чисел $n$, для которых $4^n-15$ является квадратом целого числа?
Ответ:
Решение:
Записаны четыре различных натуральных числа. Оказалось, что сумма чисел, им обратных, равна 1. Может ли среди записанных чисел отсутствовать число 2?
Ответ:
Решение:
У Буратино есть много монет по 5 и по 6 сольдо, каждого вида более 10 монет. Придя в магазин и купив книгу за $N$ сольдо, он понял, что не сможет за неё рассчитаться без сдачи. Какое наибольшее значение может принимать натуральное $N$, если оно не больше 50?
Ответ:
Решение:
Сколько существует пар натуральных чисел $a$ и $b$ таких, что $a\geqslant b$ и выполнено \[ \frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{6}\,? \]
Ответ:
Решение:
Лёша разрезал куб $n\times n\times n$ на 153 меньших кубика. Причём у всех кубиков, кроме одного, длина ребра равна 1. Найдите $n$.
Ответ:
Решение: