Поиск задач
Ищите по условию, ответу и решению. Можно сузить поиск темой, сложностью и источником, а ввод одного числа — это поиск задачи по её номеру.
Найдено задач: 331
Точки $A$ и $B$ лежат на окружности с центром $O$ и радиусом 6, а точка $C$ равноудалена от точек $A$, $B$ и $O$. Другая окружность с центром $Q$ и радиусом 8 описана около треугольника $ACO$. Найдите $BQ$.
Ответ:
Решение:
Биссектрисы треугольника $ABC$ пересекаются в точке $O$. Прямая $AO$ пересекает описанную окружность треугольника $OBC$ в точках $O$ и $M$. Найдите длину секущей $OM$, если $BC=6$, $AB:AC=3:1$, и $\angle BAC=60^\circ$.
Ответ:
Решение:
Из равнобедренного треугольника с углом $\alpha$ при вершине и площадью $1$ вырезают максимальный по площади круг, а из него — максимальный по площади треугольник, подобный исходному. Какое наибольшее и наименьшее значение принимает площадь $S(\alpha)$ полученного в итоге треугольника при $60^\circ\leqslant\alpha\leqslant120^\circ$?
Ответ:
Решение:
Прямоугольник, отношение сторон которого равно 5, имеет наибольшую площадь среди всех прямоугольников, вершины которых лежат на сторонах данного ромба, а стороны параллельны диагоналям ромба. Найдите острый угол ромба.
Ответ:
Решение:
Две стороны выпуклого четырехугольника имеют длину 6, ещё одна — длину 1, а его площадь — наибольшая возможная при таких условиях. Какова длина четвертой стороны четырехугольника?
Ответ:
Решение:
Моль проела в ковре дырку в форме прямоугольника со сторонами 10 см и 4 см. Найдите наименьший размер квадратной заплатки, которой можно закрыть эту дырку (заплатка закрывает дырку, если все точки прямоугольника лежат внутри квадрата или на его границе).
Ответ:
Решение:
Высота $BD$ остроугольного треугольника $ABC$ пересекается с его другими высотами в точке $H$. Точка $K$ лежит на отрезке $AC$ так, что величина угла $BKH$ максимальна. Найдите $DK$, если $AD=2$, $DC=3$.
Ответ:
Решение:
Газонная поливалка равномерно разбрызгивает вокруг себя воду в круге радиуса $4-2\sqrt{2}$. На границе этого круга расположена другая такая же поливалка. А ровно посередине между двумя поливалками находится вход в нору. Мышь, хозяйка норы, хочет вернуться домой, но не хочет сильно вымокнуть. Найдите длину пути, на котором мышь намокнет меньше всего. Мышь может менять направление бега, но её скорость постоянна, и под душем двух поливалок мышь мокнет вдвое быстрее.
Ответ:
Решение:
В круге радиуса 5 три разных хорды пересекаются в одной точке, причем две из них делятся этой точкой пополам. Какова при этом наименьшая возможная длина третьей хорды?
Ответ:
Решение:
Хорда $AC$ образует угол $32^\circ$ с диаметром $AD$. Из центра окружности $O$ опущен перпендикуляр $OH$ на хорду $AC$, его продолжение пересекает окружность в точке $B$. Найдите угол между прямыми $BC$ и $AD$.
Ответ:
Решение:
На окружности взята точка $A$, на её диаметре $BC$ — точки $D$ и $E$, а на его продолжении за точку $B$ — точка $F$. Найдите $BC$, если $\angle BAD=\angle ACD$, $\angle BAF=\angle CAE$, $BD=2$, $BE=5$ и $BF=4$.
Ответ:
Решение:
На биссектрисе угла $BAC$ треугольника $ABC$ отмечена точка $M$, а на продолжении стороны $AB$ за точку $A$ — точка $N$ так, что $AC=AM=1$ и $\angle ANM=\angle CNM$. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника $CNM$.
Ответ:
Решение:
Сколько точек пространства с целочисленными координатами принадлежат треугольнику с вершинами $(3,4,5)$, $(11,10,6)$, $(5,8,9)$? Точки на вершинах и сторонах тоже считаются.
Ответ:
Решение:
Найдите площадь фигуры, заданной на координатной плоскости системой \[ \begin{cases} \sqrt{1-x}+x\geqslant0,\\ \sqrt{x}-2\leqslant y\leqslant 2-x^2. \end{cases} \]
Ответ:
Решение:
Определите, под каким углом видно из начала координат (т. е. внутри какого наименьшего угла с вершиной в точке $(0,0)$ помещается) множество, заданное на координатной плоскости неравенством \[ 14x^2+xy+y^2+14x+2y+4\lt 0. \]
Ответ:
Решение:
Найдите площадь плоской фигуры, границы которой описываются уравнением \[ \Bigl|\,|x|+\bigl||y|-3\bigr|-3\Bigr|=1. \]
Ответ:
Решение:
Найдите площадь плоской фигуры, границы которой описываются уравнением\[\Bigl|\bigl|y\bigr|+\bigl||x|-4\bigr|-4\Bigr|=1.\]
Ответ:
Решение:
Живописец закрасил акварелью полумесяц на клетчатой бумаге. Контур полумесяца состоит из двух дуг — одна от окружности с центром в $(0;0)$, проходящей через $(0;1)$, другая — от окружности с центром в $(1;0)$, проходящей через $(0;1)$.
К утру краска расплылась так, что каждая точка полумесяца превратилась в круг радиуса $0.5$. Найдите площадь получившейся фигуры.
К утру краска расплылась так, что каждая точка полумесяца превратилась в круг радиуса $0.5$. Найдите площадь получившейся фигуры.
Ответ:
Решение:
Баран на пастбище привязан сразу к двум деревьям, верёвками по 5 метров длиной. На пастбище есть ещё два дерева. Вместе эти деревья образуют 4 соседние вершины правильного шестиугольника со стороной в 2 метра (см. рисунок). Насколько близко он сможет подойти к дереву, к которому привязан?
Ответ:
Решение:
На стороне $AB$ треугольника $ABC$ взята такая точка $D$, что окружность, проходящая через точки $A$, $C$ и $D$, касается прямой $BC$. Найдите $AD$, если $AC=9$, $BC=12$ и $CD=6$.
Ответ:
Решение: