Поиск задач
Ищите по условию, ответу и решению. Можно сузить поиск темой, сложностью и источником, а ввод одного числа — это поиск задачи по её номеру.
Найдено задач: 306
В остроугольном треугольнике $ABC$ сумма длин сторон $AC$ и $BC$ равна $4$. Для любой точки $D$ на прямой $AB$ ($D\not\equiv A,B$) рассматривается величина $m$, равная сумме радиусов окружностей, описанных около треугольников $ACD$ и $BCD$. Найти наименьшее значение $m$.
Ответ:
Решение:
Волк окружен собаками, расположенными в точках $M$, $N$, $P$ и $Q$ на сторонах квадрата $ABCD$, $M\in[A;B]$, $N\in[B;C]$, $P\in[C;D]$, $Q\in[D;A]$ так, что $AM:MB=BN:NC=CP:PD=DQ:QA=1:3$. Волк, находящийся внутри квадрата в точке пересечения прямых $MP$ и $NQ$, может бежать со скоростью $v_{\text{в}}$ по прямой в любом направлении. Собаки бегают только по сторонам квадрата со скоростью, не превосходящей $v_{\text{с}}$. Волк может вырваться из окружения, если на границе квадрата встретит не более одной собаки. При каких значениях отношения $v_{\text{с}}/v_{\text{в}}$ волк имеет шанс спастись?
Ответ:
Решение:
Угол при вершине $A$ остроугольного треугольника $ABC$ равен $60^\circ$. Через вершины $B$ и $C$ проведены прямые, перпендикулярные сторонам $AB$ и $AC$ соответственно, пересекающиеся в точке $D$. Через вершину $B$ проведена прямая, перпендикулярная прямой $AD$ и пересекающая сторону $AC$ в точке $M$. Длины отрезков $MA$ и $MC$ равны $3$ и $1$ соответственно. Найти длину стороны $BC$.
Ответ:
Решение:
Множество вертикальных и горизонтальных параллельных прямых разбивают плоскость на бесконечное число равных прямоугольников со сторонами $1$ и $\sqrt3$. Пусть $A$ — одна из точек пересечения прямых. Рассмотрим множество всех равносторонних треугольников с вершиной в точке $A$ и двумя другими вершинами, расположенными в точках пересечения прямых. Какое минимальное значение может принимать площадь таких треугольников? Сколько треугольников из этого множества имеет площадь $39\sqrt3$?
Ответ:
Решение:
Координаты $(x;y)$ вершин треугольника $ABC$ являются решениями уравнения \[ |\cos(x-2y)|=-|\cos(x+y)|. \] Найти наименьшее возможное значение площади треугольника.
Ответ:
Решение:
Область $D$ на координатной плоскости $k0b$ такова, что для любой точки $(k;b)\in D$ прямая с уравнением $y=kx+b$ имеет с треугольником $ABC$ на координатной плоскости $x0y$ с вершинами $A(-1;2)$, $B(2;1)$, $C(-1;-5)$ хотя бы одну общую точку. Найти площадь пересечения $D$ с полуполосой $k\in[-2;5]$, $b\geqslant 0$. Для каждого $k\in[-2;5]$ найти $b$, при котором прямая не пересекает треугольник.
Ответ:
Решение:
Числа $a$ и $b$ таковы, что $a\in[-4;3]$ и парабола $y=x^2+ax+b$ пересекает отрезок с концами в точках $P(1;2)$ и $Q(-1;4)$. Нарисовать на координатной плоскости область $D$, содержащую все точки $M(a;b)$, и найти ее площадь.
Ответ:
Решение:
На плоскости расположено множество параллелограммов, для которых
- координаты $(x;y)$ их вершин являются решениями системы \[ \begin{cases} \sin(x+y)=\cos(2x-y),\\ \cos(x-y)=\sin(x+2y); \end{cases} \]
- координаты $(x;y)$ граничных точек являются решениями объединения \[ \left[\begin{aligned} &\sin(x+y)=\cos(2x-y),\\ &\cos(x-y)=\sin(x+2y). \end{aligned}\right. \]
Ответ:
Решение:
На плоскости отмечено множество точек $M$, координаты $x$ и $y$ которых связаны соотношением \[ \sin(2x+3y)=\sin2x+\sin3y. \] Круг радиуса $R$, расположенный на той же плоскости, не пересекается с множеством $M$.
Какие значения может принимать радиус такого круга?
Какие значения может принимать радиус такого круга?
Ответ:
Решение:
Математической моделью шарикового подшипника является кольцо, образованное двумя концентрическими окружностями $K_1$ и $K_2$ радиусов $r$ (внутреннее) и $R$ (внешнее), а также $n$ окружностей (шариков) радиуса $\rho$, расположенных внутри кольца, касающихся между собой и окружностей $K_1$ и $K_2$. Напишите формулу зависимости радиуса внешней окружности $R$ от $\rho$ и $n$.
Ответ:
Решение:
Найти наибольшее число окружностей радиуса 1, не имеющих общих точек, которые могут одновременно касаться окружности радиуса 3.
Ответ:
Решение:
В прямоугольнике $ABCD$ со сторонами $AD=8$, $AB=4$ расположены три круга $K$, $K_1$ и $K_2$. Круг $K$ касается кругов $K_1$, $K_2$ внешним образом, а также прямых $AD$ и $BC$. Круги $K_1$, $K_2$ касаются также сторон $AD$, $AB$ и $AD$, $CD$ соответственно. Найти максимальное возможное значение суммы площадей трех кругов.
Ответ:
Решение:
Около четырехугольника $ABCD$ можно описать окружность. Длины сторон $AB$ и $AD$ равны. На стороне $CD$ расположена точка $Q$ так, что $DQ=1$, а на стороне $BC$ — точка $P$ так, что $BP=2$. При этом $\angle DAB=2\angle QAP$. Найти длину отрезка $PQ$.
Ответ:
Решение:
Квадратный трехчлен $y=ax^2+bx+c$ имеет корень $x=1$. Если его коэффициенты увеличить на единицу, то он будет иметь корень $x=2$. Если еще раз увеличить коэффициенты на единицу, то среди его корней будет $x=3$. Найти квадратный трехчлен.
Ответ:
Решение:
Представить квадратный трехчлен $P(x)=x^2+4x-5$ в виде суммы двух квадратных трехчленов с нулевыми дискриминантами.
Ответ:
Решение:
Ненулевые целые числа $a$, $b$, $c$ являются тремя последовательными членами возрастающей арифметической прогрессии. Все шесть квадратных уравнений, коэффициентами которых являются числа $a$, $b$, $c$, взятые в произвольном порядке, имеют два корня. Найти наименьшее возможное при этих условиях значение разности прогрессии и соответствующие ей числа $a$, $b$, $c$.
Ответ:
Решение:
$a_n$ — арифметическая прогрессия, $p_n(x)=a_nx^3-(a_n+1)x^2-(6a_n-1)x+6$ — многочлен, для которого $p_n(2)=-16n-4$ для всех натуральных $n$. Найти сумму корней уравнения $p_5(x)\cdot p_6(x)\cdot p_7(x)=0$.
Ответ:
Решение:
Петя написал на бумаге некоторый многочлен с неотрицательными целыми коэффициентами и думал, что Вася, задав только два вопроса Пете по телефону, никогда не сможет определить все коэффициенты многочлена. На первый Васин вопрос: «Чему равно значение многочлена при $x=3$?» Петя ответил «$49$». На второй Васин вопрос: «Чему равно значение многочлена при $x=49$?» был получен ответ «$122455$». Вася, немного подумав, назвал Пете все коэффициенты многочлена, который он написал. Какой многочлен придумал Петя?
Ответ:
Решение:
Доказать, что число $x_1=-\sin\dfrac{\pi}{18}$ является корнем кубического уравнения \[ 8x^3-6x-1=0. \] Найти два других его корня.
Ответ:
Решение:
Найти многочлен $P(x)$ степени $2020$, для которого $P(5)=2019$, $P(6)=2021$ и $P(4+x)=P(8-x)$ для всех $x$.
Ответ:
Решение: