Поиск задач
Ищите по условию, ответу и решению. Можно сузить поиск темой и сложностью, а ввод одного числа — это поиск задачи по её номеру.
Найдено задач: 350
В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки $A$ и $B$, а на окружности другого основания — точки $B_{1}$ и $C_{1}$, причём $BB_{1}$ — образующая цилиндра, а отрезок $AC_{1}$ пересекает ось цилиндра.
а) Докажите, что прямые $AB$ и $B_{1}C_{1}$ перпендикулярны.
б) Найдите расстояние между прямыми $AC_{1}$ и $BB_{1}$, если $AB=12$, $B_{1}C_{1}=9$.
а) Докажите, что прямые $AB$ и $B_{1}C_{1}$ перпендикулярны.
б) Найдите расстояние между прямыми $AC_{1}$ и $BB_{1}$, если $AB=12$, $B_{1}C_{1}=9$.
Ответ:
Решение:
Радиус основания конуса с вершиной $P$ равен 6, а длина его образующей равна 7. На окружности основания конуса выбраны точки $A$ и $B$, делящие окружность на две дуги, длины которых относятся как $1:2$.
а) Постройте сечение конуса плоскостью, проходящей через точки $A$, $B$ и $P$.
б) Найдите площадь сечения конуса плоскостью $ABP$.
а) Постройте сечение конуса плоскостью, проходящей через точки $A$, $B$ и $P$.
б) Найдите площадь сечения конуса плоскостью $ABP$.
Ответ:
Решение:
Плоскость $\alpha$ проходит через диаметр $AB$ сферы. Через точку $B$ проведена плоскость, касательная к сфере. На этой плоскости взята точка $K$, причём отрезок $KB$ равен радиусу сферы. Луч $AK$ пересекает сферу в точке $M$. Через точку $M$ проведена плоскость $\beta$, перпендикулярная прямой $AB$. Отрезок $CD$ — общая хорда окружностей сечений сферы плоскостями $\alpha$ и $\beta$.
а) Докажите, что $CD$ — диаметр окружности сечения сферы плоскостью $\beta$.
б) Вершина конуса совпадает с точкой $B$, а окружность основания — с окружностью сечения сферы плоскостью $\beta$. Найдите объём конуса, если радиус сферы равен 5.
а) Докажите, что $CD$ — диаметр окружности сечения сферы плоскостью $\beta$.
б) Вершина конуса совпадает с точкой $B$, а окружность основания — с окружностью сечения сферы плоскостью $\beta$. Найдите объём конуса, если радиус сферы равен 5.
Ответ:
Решение:
Точка $M$ — середина ребра $B_{1}C_{1}$ правильной треугольной призмы $ABCA_{1}B_{1}C_{1}$ с основаниями $ABC$ и $A_{1}B_{1}C_{1}$. Прямые $BA_{1}$ и $CB_{1}$ перпендикулярны.
а) Докажите, что треугольник $BMA_{1}$ равнобедренный.
б) Найдите объём призмы, если расстояние между прямыми $BA_{1}$ и $CB_{1}$ равно 2.
а) Докажите, что треугольник $BMA_{1}$ равнобедренный.
б) Найдите объём призмы, если расстояние между прямыми $BA_{1}$ и $CB_{1}$ равно 2.
Ответ:
Решение:
Две окружности касаются внутренним образом в точке $A$, причём меньшая окружность проходит через центр большей. Хорда $BC$ большей окружности касается меньшей в точке $P$. Хорды $AB$ и $AC$ пересекают меньшую окружность в точках $K$ и $M$ соответственно.
а) Докажите, что прямые $KM$ и $BC$ параллельны.
б) Пусть $L$ — точка пересечения $KM$ с прямой $AP$. Найдите $AL$, если известно, что $BC=32$, а радиус большей окружности равен 34.
а) Докажите, что прямые $KM$ и $BC$ параллельны.
б) Пусть $L$ — точка пересечения $KM$ с прямой $AP$. Найдите $AL$, если известно, что $BC=32$, а радиус большей окружности равен 34.
Ответ:
Решение:
В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ на ребре $CC_1=4$ взята точка $M$ так, что $CM:MC_1=3:1$, а на середине ребра $DD_1$ взята точка $K$. Найти угол между прямыми:
а) $AA_1$ и $BM$;
б) $CK$ и $BM$.
а) $AA_1$ и $BM$;
б) $CK$ и $BM$.
Ответ:
Решение:
В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ на ребре $CC_1=6$ взята точка $M$ так, что $CM:MC_1=2:1$, а на середине ребра $DD_1$ взята точка $K$. Найти угол между прямыми:
а) $AA_1$ и $BM$;
б) $CK$ и $BM$.
а) $AA_1$ и $BM$;
б) $CK$ и $BM$.
Ответ:
Решение:
В правильной четырёхугольной пирамиде $SABCD$, все рёбра которой равны, проведена высота $SO$. На середине ребра $SC$ взята точка $M$. Найти угол между прямыми $BM$ и $SO$.
Ответ:
Решение:
В правильной треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$ сторона основания равна $AB=3$, боковое ребро призмы $AA_1=2$. Найти угол между прямыми $AB_1$ и $BC_1$.
Ответ:
Решение:
Высота конуса 12, радиус основания $9{,}75$. Найти расстояние от центра основания конуса до плоскости сечения, проходящего через вершину конуса и хорду в окружности основания, если длина этой хорды $7{,}5$.
Ответ:
Решение:
Высота конуса 9, радиус основания $13$. Найти расстояние от центра основания конуса до плоскости сечения, проходящего через вершину конуса и хорду в окружности основания, если длина этой хорды $10$.
Ответ:
Решение:
Радиус цилиндра 37, высота 50. Найти угол, который с плоскостью основания цилиндра составляет плоскость, проходящая через хорды в окружностях верхнего и нижнего оснований цилиндра, если длины этих хорд 24 и 70. Рассмотреть оба варианта расположения такой плоскости.
Ответ:
Решение:
Радиус цилиндра 35, высота 50. Найти угол, который с плоскостью основания цилиндра составляет плоскость, проходящая через хорды в окружностях верхнего и нижнего оснований цилиндра, если длины этих хорд 42 и 56. Рассмотреть оба варианта расположения такой плоскости.
Ответ:
Решение:
Стороны прямоугольника $ABCD$ равны $AB=2$ и $AD=4\sqrt3$. На середине стороны $AD$ взята точка $M$, на середине отрезка $BM$ взята точка $K$. Найти радиус окружности, описанной вокруг треугольника $CMK$.
Ответ:
Решение:
Квадрат со стороной $1+\sqrt2$ повернули на $45^{\circ}$ вокруг его центра. Найти площадь общей части исходного и повернутого квадратов.
Ответ:
Решение:
В правильной четырёхугольной пирамиде $SABCD$ все рёбра равны. На середине бокового ребра $SD$ взята точка $M$. Найти угол между плоскостью основания пирамиды и плоскостью, проходящей через точки $B$ и $M$ параллельно прямой $AC$.
Ответ:
Решение:
Образующая конуса на 4 больше его радиуса, а площадь полной поверхности конуса равна $30\pi$. Найти образующую конуса и его высоту.
Ответ:
Решение:
Образующая конуса на 6 больше его радиуса, а площадь полной поверхности конуса равна $20\pi$. Найти образующую конуса и его высоту.
Ответ:
Решение:
Образующая конуса на 5 больше его радиуса, а площадь полной поверхности конуса равна $52\pi$. Найти образующую конуса и его высоту.
Ответ:
Решение:
Образующая конуса на 5 больше его радиуса, а площадь полной поверхности конуса равна $75\pi$. Найти образующую конуса и его высоту.
Ответ:
Решение: