Поиск задач
Ищите по условию, ответу и решению. Можно сузить поиск темой и сложностью, а ввод одного числа — это поиск задачи по её номеру.
Найдено задач: 30
Дан четырёхугольник $ABCD$, в котором $AB=AD$ и $\angle ABC=\angle ADC=90^{\circ }$. На сторонах $BC$ и $CD$ выбраны соответственно точки $F$ и $E$ так, что $DF \perp AE$. Докажите, что $AF \perp BE$.
Ответ:
Решение:
Докажите, что биссектрисы углов прямоугольника с неравными сторонами при пересечении образуют квадрат.
Ответ:
Решение:
На сторонах параллелограмма вне него построены квадраты. Докажите, что точки пересечения их диагоналей являются вершинами квадрата.
Ответ:
Решение:
В равнобедренном треугольнике $ABC$ с основанием $AC$ на продолжении высоты $BM$ за точку $M$ выбрана (взята) точка $D$. Доказать, что $\triangle ACD$ — равнобедренный.
Ответ:
Решение:
В равнобедренном треугольнике $ABC$ на основании $AC$ отмечены точки $D$ и $E$ так, что $CE=AD$, $\angle BDC=110^{\circ}$. Найти угол $BEA$.
Ответ:
Решение:
В трапецию $ABCD$ можно вписать окружность, то есть внутри трапеции существует точка $O$ (центр окружности), равноудалённая от прямых, содержащих стороны трапеции. Доказать, что $AB+CD=BC+AD$.
Указание. Пусть $OK$ и $OM$ — перпендикуляры, опущенные на боковую сторону $AB$ и основание $BC$ трапеции. Воспользовавшись признаком равенства прямоугольных треугольников, докажите равенство треугольников $OKB$ и $OMB$.
Указание. Пусть $OK$ и $OM$ — перпендикуляры, опущенные на боковую сторону $AB$ и основание $BC$ трапеции. Воспользовавшись признаком равенства прямоугольных треугольников, докажите равенство треугольников $OKB$ и $OMB$.
Ответ:
Решение:
На основании $BC$ равнобедренного треугольника $ABC$ взяты точки $M$ и $K$ так, что $BM=CK$. Докажите, что $AM=AK$.
Ответ:
Решение:
В четырёхугольнике $ABCD$ диагональ $AC$ является биссектрисой углов $A$ и $C$. Известно, что $AB=3$, $CD=5$. Найти стороны $BC$ и $AD$.
Ответ:
Решение:
Докажите, что если у четырёхугольника все стороны и все углы равны, то его диагонали равны и перпендикулярны.
Ответ:
Решение:
В прямоугольнике $ABCD$, сторона $BC$ которого на 7 больше стороны $AB$, а периметр равен 46, на диагональ $AC$ из вершин $B$ и $D$ опущены перпендикуляры $BM$ и $DK$. Найти $MK$.
Ответ:
Решение:
На биссектрису $AL$ остроугольного треугольника $ABC$ опущен из вершины $B$ перпендикуляр $BH$, продолжение которого за точку $H$ пересекает сторону $AC$ в точке $M$. На продолжении стороны $BC$ за точку $B$ взята точка $S$. Доказать, что $\angle SBA=\angle LMC$.
Ответ:
Решение:
Приведите пример неравностороннего треугольника, который можно (двумя линиями реза) разрезать на три равных треугольника.
Ответ:
Решение:
На сторонах $AB$, $BC$, $CD$ и $DA$ четырёхугольника $ABCD$ отмечены соответственно точки $M$, $N$, $P$ и $Q$ так, что $AM=CP$, $BN=DQ$, $BM=DP$, $NC=QA$. Докажите, что $ABCD$ и $MNPQ$ — параллелограммы.
Ответ:
Решение:
Высота равнобокой трапеции, проведенная из вершины меньшего основания, делит большее основание на отрезки, один из которых в 5 раз длиннее другого. Найти отношение оснований трапеции.
Ответ:
Решение:
Высота равнобокой трапеции, проведенная из вершины меньшего основания, делит большее основание на отрезки, один из которых в 6 раз длиннее другого. Найти отношение оснований трапеции.
Ответ:
Решение:
Высота равнобокой трапеции, проведенная из вершины меньшего основания, делит большее основание на отрезки, один из которых в 2 раза длиннее другого. Найти отношение оснований трапеции.
Ответ:
Решение:
Два квадрата — $ABCD$ и $DEFG$ — не имеют общих точек, кроме вершины $D$. Доказать, что $AE=CG$.
Ответ:
Решение:
Через точку $O$ пересечения диагоналей $AC$ и $BD$ диагоналей параллелограмма $ABCD$ проведена прямая, пересекающая стороны $AB$ и $CD$ в точках $K$ и $M$ соответственно. Доказать, что $AK=CM$.
Ответ:
Решение:
На сторонах $BC$ и $B_1C_1$ равных треугольников $ABC$ и $A_1B_1C_1$ взяты соответственно точки $M$ и $M_1$, причём $BM:MC=B_1M_1:M_1C_1$. Докажите, что $AM=A_1M_1$.
Ответ:
Решение:
Ответ:
Решение: