Поиск задач
Ищите по условию, ответу и решению. Можно сузить поиск темой, сложностью и источником, а ввод одного числа — это поиск задачи по её номеру.
Найдено задач: 383
Внутри выпуклого четырёхугольника $A_1A_2B_2B_1$ нашлась такая точка $C$, что треугольники $CA_1A_2$ и $CB_1B_2$ правильные. Точки $C_1$ и $C_2$ симметричны точке $C$ относительно прямых $A_2B_2$ и $A_1B_1$ соответственно. Докажите, что треугольники $A_1B_1C_1$ и $A_2B_2C_2$ подобны.
Ответ:
Решение:
Внутри треугольника $ABC$ взята такая точка $D$, что $BD=CD$, $\angle BDC=120^\circ$. Вне треугольника $ABC$ взята такая точка $E$, что $AE=CE$, $\angle AEC=60^\circ$ и точки $B$ и $E$ находятся в разных полуплоскостях относительно $AC$. Докажите, что $\angle AFD=90^\circ$, где $F$ — середина отрезка $BE$.
Ответ:
Решение:
На сторонах выпуклого шестиугольника $ABCDEF$ во внешнюю сторону построены правильные треугольники $ABC_1$, $BCD_1$, $CDE_1$, $DEF_1$, $EFA_1$ и $FAB_1$. Оказалось, что треугольник $B_1D_1F_1$ — правильный. Докажите, что треугольник $A_1C_1E_1$ также правильный.
Ответ:
Решение:
Дан остроугольный треугольник $ABC$. Для произвольной прямой $\ell$ обозначим через $\ell_a$, $\ell_b$, $\ell_c$ прямые, симметричные $\ell$ относительно сторон треугольника, а через $I_\ell$ — центр вписанной окружности треугольника, образованного этими прямыми. Найдите геометрическое место точек $I_\ell$.
Ответ:
Решение:
Дан треугольник $ABC$. Прямая $l$ касается вписанной в него окружности. Обозначим через $l_a$, $l_b$, $l_c$ прямые, симметричные $l$ относительно биссектрис внешних углов треугольника. Докажите, что треугольник, образованный этими прямыми, равен треугольнику $ABC$.
Ответ:
Решение:
Известно, что сумма любых двух из трёх квадратных трёхчленов $x^2+ax+b$, $x^2+cx+d$, $x^2+ex+f$ не имеет корней. Может ли сумма всех этих трёхчленов иметь корни?
Ответ:
Решение:
Два приведённых квадратных трёхчлена имеют общий корень, а дискриминант их суммы равен сумме их дискриминантов. Докажите, что тогда дискриминант хотя бы одного из этих двух трёхчленов равен нулю.
Ответ:
Решение:
Квадратный трёхчлен $f(x)=ax^2+bx+c$ принимает в точках $1/a$ и $c$ значения разных знаков. Докажите, что корни трёхчлена $f(x)$ имеют разные знаки.
Ответ:
Решение:
Дано квадратное уравнение $ax^2+bx+c=0$ с целыми ненулевыми коэффициентами $a$, $b$ и $c$, имеющее целый корень. Может ли оказаться, что если увеличить любой из этих трёх коэффициентов на $1$, то полученное уравнение останется квадратным и также будет иметь целый корень?
Ответ:
Решение:
Приведите пример такого квадратного трёхчлена $P(x)$, что при любом $x$ справедливо равенство \[ P(x)+P(x+1)+\ldots+P(x+10)=x^2. \]
Ответ:
Решение:
Сравните между собой наименьшие положительные корни многочленов $x^{2011}+2011x-1$ и $x^{2011}-2011x+1$.
Ответ:
Решение:
Все коэффициенты квадратного трёхчлена — нечётные целые числа. Докажите, что у него нет корней вида $1/n$, где $n$ — натуральное число.
Ответ:
Решение:
Существуют ли такое натуральное $n$ и такой многочлен $P(x)$ степени $n$, имеющий $n$ различных действительных корней, что при всех действительных $x$ выполнено равенство
а) $P(x)P(x+1)=P(x^2)$;
б) $P(x)P(x+1)=P(x^2+1)$?
а) $P(x)P(x+1)=P(x^2)$;
б) $P(x)P(x+1)=P(x^2+1)$?
Ответ:
Решение:
Учитель написал на доске в алфавитном порядке все возможные $2^n$ слов, состоящих из $n$ букв А или Б. Затем он заменил каждое слово на произведение $n$ множителей, исправив каждую букву А на $x$, а каждую букву Б — на $(1-x)$, и сложил между собой несколько первых из этих многочленов от $x$. Докажите, что полученный многочлен представляет собой либо постоянную, либо возрастающую на отрезке $[0;1]$ функцию от $x$.
Ответ:
Решение:
Докажите, что для любого натурального числа $n\geqslant 2$ и для любых действительных чисел $a_1, a_2, \ldots, a_n$, удовлетворяющих условию $a_1+a_2+\ldots+a_n\ne 0$, уравнение \[ a_1(x-a_2)(x-a_3)\ldots(x-a_n)+a_2(x-a_1)(x-a_3)\ldots(x-a_n)+\ldots+a_n(x-a_1)(x-a_2)\ldots(x-a_{n-1})=0 \] имеет хотя бы один действительный корень.
Ответ:
Решение:
Дан многочлен степени $2022$ с целыми коэффициентами и со старшим коэффициентом $1$. Какое наибольшее число корней он может иметь на интервале $(0;1)$?
Ответ:
Решение:
Дан многочлен $P(x)$ степени $n\gt 5$ с целыми коэффициентами, имеющий $n$ различных целых корней. Докажите, что многочлен $P(x)+3$ имеет $n$ различных действительных корней.
Ответ:
Решение:
Дан многочлен степени $n\geqslant 1$ с целыми ненулевыми коэффициентами, каждый из которых является его корнем. Докажите, что модули коэффициентов этого многочлена не превосходят 2.
Ответ:
Решение:
Продавец хочет разрезать кусок сыра на части, которые можно будет разложить на две кучки равного веса. Он умеет разрезать любой кусок сыра в одном и том же отношении $a:(1-a)$ по весу, где $0\lt a\lt 1$. Верно ли, что на любом промежутке длины $0{,}001$ из интервала $(0;1)$ найдётся значение $a$, при котором он сможет добиться желаемого результата с помощью конечного числа разрезов?
Ответ:
Решение:
Многочлен $P(x)$ удовлетворяет условиям: $P(0)=1$, $(P(x))^2=1+x+x^{100}Q(x)$, где $Q(x)$ — некий многочлен. Докажите, что коэффициент при $x^{99}$ в многочлене $(P(x)+1)^{100}$ равен нулю.
Ответ:
Решение: