Поиск задач
Ищите по условию, ответу и решению. Можно сузить поиск темой, сложностью и источником, а ввод одного числа — это поиск задачи по её номеру.
Найдено задач: 561
Окружность касается одной из сторон угла с вершиной $A$ в точке $B$ и пересекает вторую сторону в точках $C$ и $D$, причём $AD$ в три раза меньше $AC$. Косинус угла $A$ равен $\sqrt3/4$.
а) Найдите отношение $BC:BD$.
б) Найдите отношение радиуса окружности к $BD$.
а) Найдите отношение $BC:BD$.
б) Найдите отношение радиуса окружности к $BD$.
Ответ:
Решение:
В трапеции $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ известен угол $BCD$, равный $120^\circ$. В этот угол вписана окружность радиуса 1, проходящая через точки $A$, $B$ и $D$. Найдите площадь треугольника $ABD$.
Ответ:
Решение:
В трапеции $KLMN$ с основаниями $KN$ и $LM$ известен угол $LMN$, равный $60^\circ$. Около треугольника $KLN$ описана окружность, касающаяся прямых $LM$ и $MN$. Найдите радиус окружности, если известно, что периметр треугольника $KLN$ равен 12.
Ответ:
Решение:
Окружность с центром в точке $O$ касается стороны $BC$ треугольника $ABC$ в точке $C$ и касается медианы $AD$ треугольника $ABC$ в точке $A$. $OB$ — биссектриса угла $AOD$. Найдите углы треугольника $ABC$.
Ответ:
Решение:
Даны треугольники $ABC$ и $A'B'C'$, площади которых равны $1$ и $2025$ соответственно. Известно, что лучи $AB$ и $A'B'$ параллельны и идут в противоположных направлениях (см. рисунок). То же верно и для пар $BC$ и $B'C'$, $CA$ и $C'A'$. Точки $A''$, $B''$ и $C''$ — середины отрезков $AA'$, $BB'$ и $CC'$. Найдите площадь треугольника $A''B''C''$.
Ответ:
Решение:
Бумажный квадрат площади 17 согнули по прямой, проходящей через его центр, после чего соприкасающиеся части склеили. Найдите максимально возможную площадь получившейся бумажной фигуры.
Ответ:
Решение:
Можно ли сложить прямоугольный лист бумаги, согнув его несколько раз, и сделать один прямолинейный разрез так, что после разворачивания отрезанная часть превратится
а) в правильный треугольник;
б) в равнобедренный треугольник с заданным углом при основании;
в) в треугольник с заданными углами?
а) в правильный треугольник;
б) в равнобедренный треугольник с заданным углом при основании;
в) в треугольник с заданными углами?
Ответ:
Решение:
Какие значения может принимать выражение $x_1^2+x_1x_2+x_2^2$, где $x_1$ и $x_2$ — несовпадающие между собой корни уравнения $x^3-2015x+2016=0$?
Ответ:
Решение:
Ответ:
Решение:
Определите значение функции \[ f(x)=x^5+a_4x^4+a_3x^3+a_2x^2+a_1x+a_0 \] в точке $x=2018$, если $f(2019)=f(2023)=0$, $f(2020)=f(2022)=3$, $f(2021)=4$.
Ответ:
Решение:
Найдите все целочисленные значения $a$, $b$, $c$ такие, что существуют три различных корня уравнения \[ x^3+(8+b)x^2+(b+4)x+(c+3)=0, \] которые являются корнями уравнения \[ x^4+5x^3+ax^2+bx+c=0. \]
Ответ:
Решение:
Известно, что $a$, $b$, $c$ — три попарно различных действительных числа. Найдите наибольшее возможное при этом условии значение $x$, являющегося корнем уравнения \[ a^2(x-b)(b-c)(c-x)+b^2(a-x)(x-c)(c-a)+c^2(a-b)(b-x)(x-a)=100(a-b)(b-c)(c-a). \]
Ответ:
Решение:
Дан многочлен $P(x)$, не равный нулю тождественно. Известно, что при всех $x$ выполняется тождество $(x-2020)\cdot P(x+1)=(x+2021)\cdot P(x)$. Сколько корней имеет уравнение $P(x)=0$?
Ответ:
Решение:
Найдите $a$ такое, что сумма квадратов действительных корней уравнения $x^4+ax^2-2017=0$ равна 4.
Ответ:
Решение:
Найдите сумму $\frac1x+\frac1y+\frac1z$, если известно, что три различных действительных числа $x$, $y$ и $z$ удовлетворяют условиям: \[ x^3+1009=2018x,\quad y^3+1009=2018y,\quad z^3+1009=2018z. \]
Ответ:
Решение:
Найдите наименьшее натуральное число $q$, для которого существует такое целое число $p$, что уравнение $x^4+px^2+q=0$ имеет четыре корня, образующих арифметическую прогрессию.
Ответ:
Решение:
Учитель выписал на доске квадратное уравнение \[ x^2+ax+2022=0. \] Андрей подставил вместо $a$ по очереди все целые числа от $0$ до $99$ и решил все из получившихся $100$ уравнений. Найдите сумму всех получившихся у Андрея действительных корней этих уравнений. При необходимости округлите ответ до сотых.
Ответ:
Решение:
Пусть $x_1$, $x_2$ — корни уравнения $x^2-x-3=0$. Найдите $\left(x_1^5-20\right)\left(3x_2^4-2x_2-35\right)$.
Ответ:
Решение:
Пусть $x_1$, $x_2$ — корни уравнения $x^2-x-4=0$. Найдите $\left(x_1^5-20x_1\right)\left(x_2^4+16\right)$.
Ответ:
Решение:
Числа $x_1$, $x_2$, $x_3$ являются корнями уравнения $x^3-6x^2+7x-1=0$. При каких значениях $a$, $b$, $c$ корнями уравнения $x^3+ax^2+bx+c=0$ являются числа $x_1+x_2$, $x_2+x_3$ и $x_3+x_1$?
Ответ:
Решение: