Поиск задач
Ищите по условию, ответу и решению. Можно сузить поиск темой, сложностью и источником, а ввод одного числа — это поиск задачи по её номеру.
Найдено задач: 1597
В математическом кружке занимаются 24 школьника. Каждую команду, состоящую из 6 школьников, руководитель считает либо сыгранной, либо несыгранной. Для турнира математических боёв руководитель собирается разбить детей на 4 команды по 6 человек. Может ли оказаться, что при любом разбиении школьников на 4 команды сыгранными оказываются либо ровно три команды, либо ровно одна, причём и тот, и другой варианты присутствуют?
Ответ:
Решение:
Даны натуральные числа $a$ и $b$ такие, что $a\geqslant 2b$. Существует ли многочлен $P(x)$ степени больше 0 с коэффициентами из множества $\{0,1,2,\ldots,b-1\}$ такой, что $P(a)$ делится на $P(b)$?
Ответ:
Решение:
Дана прямолинейная дорога, выложенная из зелёных и красных дощечек (дорога — отрезок, разбитый на отрезки-дощечки). Цвета дощечек чередуются; первая и последняя дощечки — зелёные. Известно, что длины всех дощечек больше сантиметра и меньше метра, а также что длина каждой следующей дощечки больше предыдущей. Кузнечик хочет пропрыгать вперёд по дороге по этим дощечкам, наступив на каждую зелёную дощечку хотя бы один раз и не наступив ни на одну красную дощечку (или границу между соседними дощечками). Докажите, что кузнечик может сделать это так, чтобы среди длин его прыжков встретилось не более 8 различных значений.
Ответ:
Решение:
Юрий подошёл к великой таблице майя. В таблице 200 столбцов и $2^{200}$ строк. Юрий знает, что в каждой клетке таблицы изображено солнце или луна, и любые две строки отличаются (хотя бы в одном столбце). Каждая клетка таблицы закрыта листом. Поднялся ветер и сдул некоторые листы: по два листа с каждой строки. Могло ли так случиться, что теперь Юрий хотя бы про 10 000 строк может узнать, что в каждой из них изображено в каждом из столбцов?
Ответ:
Решение:
На доске написаны 8 различных квадратных трёхчленов; среди них нет двух, дающих в сумме нулевой многочлен. Оказалось, что если выбрать любые два трёхчлена $g_1(x)$, $g_2(x)$ с доски, то оставшиеся 6 трёхчленов можно обозначить как $g_3(x)$, $g_4(x)$, …, $g_8(x)$ так, что у всех четырёх многочленов $g_1(x)+g_2(x)$, $g_3(x)+g_4(x)$, $g_5(x)+g_6(x)$ и $g_7(x)+g_8(x)$ есть общий корень. Обязательно ли все трёхчлены на доске имеют общий корень?
Ответ:
Решение:
Существует ли натуральное число $n\gt 10^{100}$ такое, что десятичные записи чисел \[ n^2\quad\text{и}\quad(n+1)^2 \] отличаются перестановкой цифр? (Иначе говоря, в десятичных записях чисел $n^2$ и $(n+1)^2$ должно быть поровну цифр 0, поровну цифр 1, …, поровну цифр 9.)
Ответ:
Решение:
Назовём натуральное число $n$ странным, если существуют такие попарно различные натуральные числа $a$, $b$, $c$, $d$ и $e$, большие 1, что \[ n=a^{a^a}=b^{b^c}=d^{e^e}. \] Конечно или бесконечно количество странных чисел? (Напомним, что $x^{y^z}$ означает число, получившееся в результате возведения числа $x$ в степень $y^z$.)
Ответ:
Решение:
Аня, Боря, Вика и Гена дежурят в течение 20 дней в школе. Известно, что каждый день дежурят ровно трое из них. Аня дежурила 15 раз, Боря — 14 раз, Вика — 18 раз. Сколько раз дежурил Гена?
Ответ:
Решение:
Четыре девочки поют песни, аккомпанируя друг другу. Каждый раз одна из них играет на фортепиано, а остальные три поют. Вечером они посчитали, что Аня спела 8 песен, Таня — 6 песен, Оля — 3 песни, а Катя — 7 песен. Сколько раз аккомпанировала Таня? Обоснуйте свой ответ.
Ответ:
Решение:
В королевстве живут графы, герцоги и маркизы. Однажды каждый граф сразился на дуэли с тремя герцогами и несколькими маркизами. Каждый герцог сразился на дуэли с двумя графами и шестью маркизами. Каждый маркиз сразился на дуэли с тремя герцогами и двумя графами. Известно, что все графы сразились с равным числом маркизов. Со сколькими маркизами сразился каждый граф?
Ответ:
Решение:
Внутри большого треугольника периметра 120 провели несколько отрезков, которые разделили его на девять меньших треугольников, как показано на рисунке. Оказалось, что периметры всех девяти маленьких треугольников равны между собой. Чему они могут быть равны? Укажите все возможные варианты. Периметр фигуры — сумма длин всех её сторон.
[Рисунок (буквы введены для описания, на рисунке их нет): треугольник $TLR$ ($T$ — верхняя вершина, $L$ — левая нижняя, $R$ — правая). На стороне $TL$ отмечены точки $P_1$, $P_2$ (по порядку от $T$), на стороне $TR$ — точки $Q_1$, $Q_2$ (от $T$), на стороне $LR$ — точки $S_1$, $S_2$ (от $L$), внутри — точка $O$. Проведены отрезки $P_1Q_1$, $OP_1$, $OQ_1$, $OP_2$, $P_2S_1$, $OS_1$, $OS_2$, $OQ_2$, $S_2Q_2$; они делят треугольник на девять треугольников: $TP_1Q_1$, $P_1Q_1O$, $P_1OP_2$, $P_2OS_1$, $LP_2S_1$, $S_1OS_2$, $OS_2Q_2$, $S_2Q_2R$, $Q_1Q_2O$.]
[Рисунок (буквы введены для описания, на рисунке их нет): треугольник $TLR$ ($T$ — верхняя вершина, $L$ — левая нижняя, $R$ — правая). На стороне $TL$ отмечены точки $P_1$, $P_2$ (по порядку от $T$), на стороне $TR$ — точки $Q_1$, $Q_2$ (от $T$), на стороне $LR$ — точки $S_1$, $S_2$ (от $L$), внутри — точка $O$. Проведены отрезки $P_1Q_1$, $OP_1$, $OQ_1$, $OP_2$, $P_2S_1$, $OS_1$, $OS_2$, $OQ_2$, $S_2Q_2$; они делят треугольник на девять треугольников: $TP_1Q_1$, $P_1Q_1O$, $P_1OP_2$, $P_2OS_1$, $LP_2S_1$, $S_1OS_2$, $OS_2Q_2$, $S_2Q_2R$, $Q_1Q_2O$.]
Ответ:
Решение:
У Васи есть шесть одинаковых игральных кубиков, на гранях каждого из которых записаны числа от 1 до 6 (каждое — по одному разу). Вася бросал все шесть кубиков шесть раз подряд. Ни на одном из кубиков не выпадало дважды одно и то же число.
Известно, что при первом броске сумма чисел на верхних гранях равнялась 21, а при следующих четырёх бросках — 19, 20, 18 и 25. Какая сумма получилась при шестом броске?
Известно, что при первом броске сумма чисел на верхних гранях равнялась 21, а при следующих четырёх бросках — 19, 20, 18 и 25. Какая сумма получилась при шестом броске?
Ответ:
Решение:
Володя расставил несколько (возможно 0) шахматных фигур на доску $8\times8$. Лёня заметил, что в каждом квадрате $2\times2$ стоит одинаковое количество фигур. А Влад заметил, что в каждом прямоугольнике $3\times1$ (или $1\times3$) стоит одинаковое количество фигур. Сколько фигур было выставлено на доску? (Укажите все варианты и докажите, что других нет.)
Ответ:
Решение:
На доске написаны натуральные числа $a$, $b$, $c$, $d$. Известно, что среди шести сумм \[a+b,\quad b+c,\quad c+d,\quad d+a,\quad a+c,\quad b+d\] три равны 23, а три других равны 34.
1. Чему равно $a+b+c+d$?
2. Чему равно наименьшее из чисел $a$, $b$, $c$, $d$?
1. Чему равно $a+b+c+d$?
2. Чему равно наименьшее из чисел $a$, $b$, $c$, $d$?
Ответ:
Решение:
За год каждый из восьмиклассников гимназии №1 получил по алгебре либо 8, либо 10 оценок (все оценки — от 2 до 5). Известно, что у любых двух восьмиклассников средние баллы по алгебре за год различны. Какое наибольшее количество восьмиклассников может быть в этой гимназии? Средний балл — это сумма всех оценок ученика, делённая на их количество.
Ответ:
Решение:
У Егора есть таблица $5\times 5$. Назовём крестом какой-то клетки все 9 клеток из объединения её строки и столбца. Егор выбрал несколько клеток в этой таблице. После чего он написал в каждой клетке таблицы, сколько выбранных им клеток содержится в кресте этой клетки. В результате получилась такая таблица:
1. Сколько клеток загадал Егор?
2. Найдите координаты загаданных клеток.
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | |
| A | 3 | 2 | 2 | 3 | 3 |
| B | 2 | 2 | 2 | 1 | 2 |
| C | 2 | 2 | 2 | 2 | 1 |
| D | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| E | 1 | 2 | 2 | 2 | 2 |
2. Найдите координаты загаданных клеток.
Ответ:
Решение:
По кругу стоят 15 мальчиков и 26 девочек. Известно, что ровно у 19 человек оба соседа — девочки. У какого количества человек оба соседа — мальчики?
Ответ:
Решение:
Каждая клетка таблицы размером $7\times8$ (7 строк и 8 столбцов) покрашена в один из трёх цветов: красный, жёлтый или зелёный. При этом в каждой строке красных клеток не меньше, чем жёлтых и не меньше, чем зелёных, а в каждом столбце жёлтых клеток не меньше, чем красных и не меньше, чем зелёных. Сколько зелёных клеток может быть в такой таблице?
Ответ:
Решение:
В каждой клетке таблицы размером $13\times13$ записано одно из натуральных чисел от 1 до 25. Клетку назовём «хорошей», если среди двадцати пяти чисел, записанных в ней и во всех клетках одной с ней горизонтали и одной с ней вертикали, нет одинаковых. Могут ли все клетки одной из главных диагоналей оказаться «хорошими»?
Ответ:
Решение:
В каждую клетку таблицы $1001\times1001$ поставили 0 или 1. Оказалось, что в любом столбце нулей больше, чем единиц. Обязательно ли найдутся два столбца таких, что число строк, в пересечениях которых с этими двумя столбцами стоят только нули, больше числа строк, в пересечениях которых с этими двумя столбцами стоят только единицы?
Ответ:
Решение: