Поиск задач
Ищите по условию, ответу и решению. Можно сузить поиск темой, сложностью и источником, а ввод одного числа — это поиск задачи по её номеру.
Найдено задач: 1597
В выражении \[ \dfrac{\text{Р}\cdot\text{А}\cdot\text{З}+\text{Р}\cdot\text{Е}\cdot\text{З}\cdot\text{А}\cdot\text{Й}}{\text{С}\cdot\text{Р}\cdot\text{А}\cdot\text{З}\cdot\text{У}} \] замените каждую из букв Р, А, З, Е, Й, С, У на какую-то из цифр от 1 до 9 (одинаковые буквы — на одинаковые цифры, разные буквы — на разные цифры) так, чтобы значение выражения получилось наибольшим. Покажите, как нужно расставить цифры, вычислите значение вашего выражения и объясните, почему оно наибольшее.
Ответ:
Решение:
Пусть $f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ — непрерывная функция. Хордой будем называть отрезок целой длины, параллельный оси абсцисс, концы которого лежат на графике функции $f$. Известно, что у графика функции $f$ ровно $N$ хорд, причём среди них есть хорда длины 2025. Найдите наименьшее возможное значение $N$.
Ответ:
Решение:
На плоскости нарисованы графики функций $y=\sin x$ и $y=\operatorname{tg}x$, а также оси координат. Как циркулем и линейкой построить какую-нибудь прямую, которая касается графика синуса как выше оси абсцисс ($Ox$), так и ниже (и, возможно, имеет ещё несколько точек пересечения)?
Ответ:
Решение:
Пусть $P(x)$ — ненулевой многочлен степени $n$ с неотрицательными коэффициентами такой, что функция $y=P(x)$ — нечетная. Может ли оказаться так, что для различных точек $A_1$, $A_2$, $\ldots$, $A_n$ на графике $G$: $y=P(x)$ выполняются условия: касательная к графику $G$ в точке $A_1$ проходит через точку $A_2$, касательная в точке $A_2$ проходит через точку $A_3$, $\ldots$, касательная в точке $A_n$ — через точку $A_1$?
Ответ:
Решение:
В зоопарке есть 10 слонов и огромные чашечные весы. Известно, что если любые четыре слона встанут на левую чашу весов, а любые три — на правую, то левая чаша перевесит. Три слона встали на левую чашу и два — на правую. Обязательно ли левая чаша перевесит?
Ответ:
Решение:
Множество $A$ состоит из $n$ различных натуральных чисел, сумма которых равна $n^2$. Множество $B$ также состоит из $n$ различных натуральных чисел, сумма которых равна $n^2$. Докажите, что найдётся число, которое принадлежит как множеству $A$, так и множеству $B$.
Ответ:
Решение:
Для положительных чисел $a$, $b$ и $c$ докажите неравенство \[ \dfrac{1+bc}{a}+\dfrac{1+ca}{b}+\dfrac{1+ab}{c}\gt \sqrt{a^2+2}+\sqrt{b^2+2}+\sqrt{c^2+2}. \]
Ответ:
Решение:
Последовательность чисел $a_1, a_2, \ldots, a_{2022}$ такова, что $a_n-a_k\geqslant n^3-k^3$ для любых $n$ и $k$ таких, что $1\leqslant n\leqslant2022$ и $1\leqslant k\leqslant2022$. При этом $a_{1011}=0$. Какие значения может принимать $a_{2022}$?
Ответ:
Решение:
Числа $a$, $b$ и $c$ таковы, что \[ a^2+b^2\lt (a-b)^2\quad\text{и}\quad b^2+c^2\lt (b-c)^2. \] Докажите, что $a^4+c^4\lt (a+c)^4$.
Ответ:
Решение:
Положительные числа $x$, $y$ и $z$ удовлетворяют условию $xyz\geqslant xy+yz+zx$. Докажите неравенство \[ \sqrt{xyz}\geqslant\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}. \]
Ответ:
Решение:
Существует ли треугольник, для сторон $x$, $y$, $z$ которого выполнено соотношение \[ x^3+y^3+z^3=(x+y)(y+z)(z+x)\,? \]
Ответ:
Решение:
Положительные числа $x$, $y$ таковы, что $x^5-y^3\geqslant 2x$. Докажите, что $x^3\geqslant 2y$.
Ответ:
Решение:
Даны действительные числа $a$ и $b$, причём $b\gt a\gt 1$. Пусть \[x_n=2^n\left(\sqrt[2^n]{b}-\sqrt[2^n]{a}\right).\] Докажите, что последовательность $x_1$, $x_2$, $\ldots$ убывает.
Ответ:
Решение:
Дано положительное число $a\neq 1$. Докажите, что последовательность $x_1$, $x_2$, $\ldots$, где \[x_n=2^n\left(\sqrt[2^n]{a}-1\right),\] убывает.
Ответ:
Решение:
Петя разложил карточки с числами от 1 до 10 в ряд в каком-то порядке, затем для каждой пары соседних карточек записал число $\frac{1}{x+y}$, где $x$ и $y$ — числа на этих карточках. Докажите, что сумма записанных Петей чисел больше, чем 0,75.
Ответ:
Решение:
Ненулевые числа $x$ и $y$ удовлетворяют неравенствам $x^4-y^4\gt x$ и $y^4-x^4\gt y$. Может ли произведение $xy$ равняться отрицательному числу?
Ответ:
Решение:
Ненулевые числа $x$ и $y$ удовлетворяют неравенствам $x^4-y^4\gt x$ и $y^4-x^4\gt y$. Какой знак может иметь произведение $xy$ (укажите все возможности)?
Ответ:
Решение:
Ненулевые числа $x$ и $y$ удовлетворяют неравенствам $x^2-x\gt y^2$ и $y^2-y\gt x^2$. Какой знак может иметь произведение $xy$?
Ответ:
Решение:
Вещественные числа $x$, $y$, $z$ таковы, что \[ 2x\gt y^2+z^2,\quad 2y\gt z^2+x^2,\quad 2z\gt x^2+y^2. \] Докажите, что каждое из чисел $x$, $y$, $z$ меньше 1.
Ответ:
Решение: