Поиск задач
Ищите по условию, ответу и решению. Можно сузить поиск темой, сложностью и источником, а ввод одного числа — это поиск задачи по её номеру.
Найдено задач: 1597
Прямые, содержащие стороны данного остроугольного треугольника $T$, покрасили в красный, зелёный и синий цвета. Затем эти прямые повернули вокруг центра описанной окружности данного треугольника по часовой стрелке на угол $120^\circ$ (прямая сохраняет свой цвет после поворота). Докажите, что три точки пересечения одноцветных прямых являются вершинами треугольника, равного $T$.
Ответ:
Решение:
В остроугольном неравнобедренном треугольнике $ABC$ проведены медиана $AM$ и высота $AH$. На прямых $AB$ и $AC$ отмечены точки $Q$ и $P$ соответственно так, что $QM\perp AC$ и $PM\perp AB$. Окружность, описанная около треугольника $PMQ$, пересекает прямую $BC$ вторично в точке $X$. Докажите, что $BH=CX$.
Ответ:
Решение:
Дана трапеция $ABCD$, в которой $AD\parallel BC$, а лучи $AB$ и $DC$ пересекаются в точке $G$. Общие внешние касательные к окружностям, описанным около треугольников $ABC$ и $ACD$, пересекаются в точке $E$. Общие внешние касательные к окружностям, описанным около треугольников $ABD$ и $BCD$, пересекаются в точке $F$. Докажите, что точки $E$, $F$ и $G$ лежат на одной прямой.
Ответ:
Решение:
В треугольнике $ABC$ медиана, выходящая из вершины $A$, перпендикулярна биссектрисе угла $B$, а медиана, выходящая из вершины $B$, перпендикулярна биссектрисе угла $A$. Известно, что сторона $AB=1$. Найдите периметр треугольника $ABC$.
Ответ:
Решение:
В треугольнике $ABC$ угол $B$ равен $134^\circ$, а высота, опущенная из вершины $A$, в два раза меньше биссектрисы угла $A$. Найдите угол $C$. Ответ выразите в градусах.
Ответ:
Решение:
В треугольнике $ABC$ провели медиану $AM$. Найдите угол $AMC$, если углы $BAC$ и $BCA$ равны $45^\circ$ и $30^\circ$ соответственно.
Ответ:
Решение:
Высота $CH$, опущенная из вершины прямого угла треугольника $ABC$, делит биссектрису $BL$ этого треугольника пополам. Найдите угол $BAC$.
Ответ:
Решение:
В треугольнике $ABC$ проведена биссектриса $AL$. Точки $E$ и $D$ отмечены на отрезках $AB$ и $BL$ соответственно так, что $DL=LC$, $ED\parallel AC$. Найдите длину отрезка $ED$, если известно, что $AE=15$, $AC=12$.
Ответ:
Решение:
В прямоугольном треугольнике $ABC$ с прямым углом $C$ провели высоту $CH$. На гипотенузе отметили точки $X$ и $Y$, такие что $CX$ и $CY$ — биссектрисы углов $BCH$ и $HCA$ соответственно. Найдите, чему равна длина стороны $AB$, если известно, что периметр треугольника $ABC$ равен 44, а длина отрезка $XY$ равна 6.
Ответ:
Решение:
В треугольнике $ABC$ точки $M$ и $N$ — середины сторон $AC$ и $BC$ соответственно. Известно, что точка пересечения медиан треугольника $AMN$ является точкой пересечения высот треугольника $ABC$. Найдите угол $ABC$.
Ответ:
Решение:
В треугольник $ABC$ вписана окружность с центром $O$. На стороне $AB$ выбрана точка $P$, а на продолжении стороны $AC$ за точку $C$ — точка $Q$ так, что отрезок $PQ$ касается окружности. Докажите, что $\angle BOP=\angle COQ$.
Ответ:
Решение:
Внутри треугольника $ABC$ отмечена точка $P$. Биссектрисы углов $BAC$ и $ACP$ пересекаются в точке $M$, а биссектриса угла $PBA$ и прямая, содержащая биссектрису угла $BPC$, пересекаются в точке $N$. Докажите, что точка пересечения прямых $CP$ и $AB$ лежит на прямой $MN$.
Ответ:
Решение:
Высоты неравнобедренного остроугольного треугольника $ABC$ пересекаются в точке $H$. $O$ — центр описанной окружности треугольника $BHC$. Центр $I$ вписанной окружности треугольника $ABC$ лежит на отрезке $OA$. Найдите угол $BAC$.
Ответ:
Решение:
Внутри параллелограмма $ABCD$ выбрана точка $E$ так, что $AE=DE$ и $\angle ABE=90^\circ$. Точка $M$ — середина отрезка $BC$. Найдите угол $DME$.
Ответ:
Решение:
В треугольнике $ABC$ построена точка $D$, симметричная центру $I$ вписанной окружности относительно центра $O$ описанной окружности. Докажите, что $AD^2=4R^2-AB\cdot AC$, где $R$ — радиус описанной окружности треугольника $ABC$.
Ответ:
Решение:
На стороне $BC$ остроугольного треугольника $ABC$ выбраны точки $P$ и $Q$ так, что $BP=PQ=QC$. Точки $X$ и $Y$ выбраны соответственно на отрезках $AC$ и $AB$ так, что $PX\perp AC$ и $QY\perp AB$. Докажите, что точка пересечения медиан треугольника $ABC$ равноудалена от прямых $XQ$ и $YP$.
Ответ:
Решение:
В выпуклом четырёхугольнике $ABCD$ углы $A$ и $C$ равны. На сторонах $AB$ и $BC$ нашлись соответственно точки $M$ и $N$ такие, что $MN\parallel AD$ и $MN=2AD$. Пусть $K$ — середина отрезка $MN$, а $H$ — точка пересечения высот треугольника $ABC$. Докажите, что прямые $KH$ и $CD$ перпендикулярны.
Ответ:
Решение:
Внутри неравнобедренного остроугольного треугольника $ABC$, в котором $\angle ABC=60^\circ$, отмечена точка $T$ так, что $\angle ATB=\angle BTC=\angle ATC=120^\circ$. Медианы треугольника пересекаются в точке $M$. Прямая $TM$ пересекает вторично окружность, описанную около треугольника $ATC$, в точке $K$. Найдите $TM/MK$.
Ответ:
Решение:
Биссектрисы треугольника $ABC$ пересекаются в точке $I$, внешние биссектрисы его углов $B$ и $C$ пересекаются в точке $J$. Окружность $\omega_b$ с центром в точке $O_b$ проходит через точку $B$ и касается прямой $CI$ в точке $I$. Окружность $\omega_c$ с центром в точке $O_c$ проходит через точку $C$ и касается прямой $BI$ в точке $I$. Отрезки $O_bO_c$ и $IJ$ пересекаются в точке $K$. Найдите отношение $IK/KJ$.
Ответ:
Решение:
Высоты остроугольного треугольника $ABC$, в котором $AB\lt AC$, пересекаются в точке $H$, а $O$ — центр описанной около него окружности $\Omega$. Отрезок $OH$ пересекает описанную около треугольника $BHC$ окружность в точке $X$, отличной от $O$ и $H$. Окружность, описанная около треугольника $AOX$, пересекает меньшую дугу $AB$ окружности $\Omega$ в точке $Y$. Докажите, что прямая $XY$ делит отрезок $BC$ пополам.
Ответ:
Решение: