Алгебраические уравнения и их системы

При каком значении параметра $a$ сумма квадратов корней уравнения $90x^2-105ax-12x+30a^2+11a-6=0$ будет наименьшей?

При каком значении параметра $a$ сумма квадратов корней уравнения $6x^2-5ax+3x+a^2-a=0$ является наименьшей?

Найти все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение $$(4^x-3\cdot2^x+3a-a^2)\sqrt{2-x}=0$$ имеет ровно два различных корня.

Найти все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение $$\frac{4a}{a-6}\cdot3^{|x|}=9^{|x|}+\frac{3a+4}{a-6}$$ имеет ровно два различных корня.

Найти все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение $$9^{x+1}-6a\cdot3^x+a^2-9a+9=0$$ имеет ровно один корень.

Найти все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение $(\log_2^2 x-\log_2 x-a^2+a)\sqrt{2x-1}=0$ имеет ровно три корня.

Найти все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение $4^x-2^x=a^2-a$ имеет ровно два различных корня.

Найти все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение $4^x-2^x=a^2-3a+2$ имеет ровно два различных корня.

Найти все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение $$\log_2^2(x^2+6x+13)+(6-4a)\log_2(x^2+6x+13)+4a^2-13a+11=0$$ имеет четыре различных корня.

Найти все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение $$\log_3^2(x^2-4x+13)+(4-6a)\log_3(x^2-4x+13)+9a^2-13a+2=0$$ имеет четыре различных корня.

Найти все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение $$4^x+(4-2a)\,2^x+a^2-3a=0$$ а) имеет ровно один корень;
б) имеет два различных корня.

Найти все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение $$9^x+(2-2a)\,3^x+a^2-a-6=0$$ а) имеет ровно один корень;
б) имеет два различных корня.

Найти все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение $$\sin^2x+(4-5a)\,\sin x+6a^2-13a-5=0$$ имеет решения.

Найти все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение $$\cos^2x+(1-5a)\,\cos x+6a^2+a-12=0$$ имеет решения.

Найти все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение
a) $\sqrt{16-x^2-6x}=ax-4a+5$,
б) $\sqrt{16-x^2-6x}=ax+4a+7$
имеет ровно два различных корня.

Найти все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение
a) $\sqrt{21-x^2+4x}=ax+6a+5$,
б) $\sqrt{21-x^2+4x}=ax-3a+7$
имеет ровно два различных корня.

Найти все значения параметра $a$, при каждом из которых система уравнений $$\left\{\begin{aligned} &(x-2a+4)^2+(y-a+1)^2=3a+5, \\ &|y+2x-1| \leqslant 5 \end{aligned}\right.$$ имеет ровно одно решение.

Найти все значения параметра $a$, при каждом из которых система уравнений $$\left\{\begin{aligned} &(x-a+2)^2+(y-2a+3)^2=3a+8, \\ &|2y+x+3| \leqslant 5 \end{aligned}\right.$$ имеет хотя бы одно решение.

Найти все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение $$x^2-ax+4x-2a^2-5a+3=0$$ имеет два корня, один из которых положительный, а другой отрицательный.

Найти все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение $$(1-a)\sqrt{8x-x^2}=x^2-8x+2a^2-a=0$$ имеет ровно два различных корня.