Алгебраические уравнения и их системы

Найти все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение $$x^3-3x^2=a^2-5a$$ имеет ровно три различных корня.

Найти все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение $$(2x-x^2)^{3/2}-3(2x-x^2)=a^2-5a$$ имеет хотя бы одно решение.

Найти все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение $$2^{2/x}-a\cdot 2^{1/x}+2^{1/x}-6a^2+2a=0$$ не имеет решений.

Найти все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение $$\sin^4 x-a\sin^2 x+3\sin^2 x-6a^2+a+2=0$$ имеет хотя бы одно решение.

Найти все значения параметра $a$, при которых система уравнений $$\left\{\begin{aligned} &ay^2-a^2xy+xy+a^2y-y-ax^2+2ax-a=0, \\ &x^2-10x+y^2-6|y|+29=0 \end{aligned}\right.$$ имеет ровно четыре решения.

Найти все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение $$2^{\frac{2x^2}{x-1}}-7\cdot 2^{\frac{x^2+2x-2}{x-1}}-a\cdot 2^{\frac{x^2+x-1}{x-1}}=3a^2-92a+60$$ имеет ровно три различных корня.

Найти значения параметра $a$, при каждом из которых решением системы неравенств $$\left\{\begin{aligned} &(a+4x+13)(a-2x-2)\geqslant 0, \\ &a < x^2+4x+3 \end{aligned}\right.$$ является один отрезок длины $1{,}5$.

Найти все значения параметра $a$, при которых уравнение $\displaystyle (x^2+1)^3-(4x-a)^3=\ln \frac{4x-a}{x^2+1}$ не имеет решений.

Найти все значения параметра $k$, при каждом из которых прямая $y=kx+6$ имеет с параболой $y=x^2-3x+7$ ровно одну общую точку.

Найти все значения параметра $k$, при каждом из которых прямая $y=kx-17$ имеет с параболой $y=x^2-3x-1$ ровно одну общую точку.

Найти все значения параметра $k$, при каждом из которых прямая $y=kx-11$ имеет с параболой $y=x^2+5x-2$ ровно одну общую точку.

Найти все значения параметра $k$, при каждом из которых прямая $y=kx-9$ имеет с параболой $y=x^2+2x-5$ ровно одну общую точку.

Найти все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение $$\cos2x-(4a+6)\cos x+12a+1=0$$ а) имеет хотя бы один корень;
б) имеет хотя бы один корень, принадлежащий отрезку $\displaystyle \left[0;~\frac{\pi}{3}\right]$.

Найти все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение $$\cos2x+(4a+4)\sin x-8a-1=0$$ а) имеет хотя бы один корень;
б) имеет хотя бы один корень, принадлежащий отрезку $\displaystyle \left[\frac{\pi}{6};~\frac{\pi}{2}\right]$.

Найти все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение $$\cos2x-(a+4)\cos x+2a+1=0$$ а) имеет хотя бы один корень;
б) имеет хотя бы один корень, принадлежащий отрезку $\displaystyle \left[\frac{2\pi}{3};~\pi\right]$.

Найти все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение $$\cos2x+(a+4)\sin x-2a-1=0$$ а) имеет хотя бы один корень;
б) имеет хотя бы один корень, принадлежащий отрезку $\displaystyle \left[\frac{\pi}{2};~\frac{5\pi}{6}\right]$.

Найти все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение $$3\cos2x+2(a+6)\sin x-4a-3=0$$ а) имеет хотя бы один корень;
б) имеет хотя бы один корень, принадлежащий отрезку $\displaystyle \left[\frac{5\pi}{6};~\pi\right]$.

Найти все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение $\log_2(2^{2x+1}+a)=x+1$ имеет два различных действительных корня.

Найти все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение $\log_2(4^{x+1}+5a)=x+2$ имеет два различных действительных корня.

Найти все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение $\log_3(9^{x+1}-3\cdot 3^x+4a)=x+1$ имеет два различных действительных корня.