Поиск задач
Ищите по условию, ответу и решению. Можно сузить поиск темой, сложностью и источником, а ввод одного числа — это поиск задачи по её номеру.
Найдено задач: 383
Существуют ли два многочлена с целыми коэффициентами такие, что у каждого из них есть коэффициент, модуль которого больше 2015, но у произведения этих двух многочленов модули всех коэффициентов не превосходят 1?
Ответ:
Решение:
Про приведённый многочлен $P(x)=x^n+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots+a_1x+a_0$ с действительными коэффициентами известно, что при некотором натуральном $m\geqslant 2$ многочлен $\underbrace{P(P(\ldots P}_{m\text{ раз}}(x)\ldots))$ имеет действительные корни, причём только положительные. Обязательно ли сам многочлен $P(x)$ имеет действительные корни, причём только положительные?
Ответ:
Решение:
Дано натуральное $n\geqslant 2$. Симметрический многочлен $P(x_1,\ldots,x_n)$ таков, что уравнение $P(x_1,\ldots,x_n)=0$ имеет вещественные решения, причём все эти решения получаются перестановкой чисел из одного единственного набора $a_1,\ldots,a_n$. Известно, что в этом наборе есть хотя бы два различных числа. Для каждого $n\geqslant 2$ найдите наименьшую возможную степень многочлена $P$.
Ответ:
Решение:
Максим загадал многочлен $P(x)$ с вещественными коэффициентами. За один ход Надя может назвать любой многочлен $Q(x)$ с вещественными коэффициентами, а ответ Максим должен сообщить Наде следующие два факта:
1) достигается ли максимальное значение $P+Q$, и если да, то чему оно равно;
2) достигается ли минимальное значение $P+Q$, и если да, то чему оно равно.
Надя хочет последовательно сделать несколько таких ходов, а затем назвать такое вещественное число $t$, что $|P(2026)-t|\lt 10^{-100}$. Докажите, что Надя может действовать так, чтобы гарантированно добиться желаемого. (Надя сама решает, когда ей перестать задавать вопросы).
1) достигается ли максимальное значение $P+Q$, и если да, то чему оно равно;
2) достигается ли минимальное значение $P+Q$, и если да, то чему оно равно.
Надя хочет последовательно сделать несколько таких ходов, а затем назвать такое вещественное число $t$, что $|P(2026)-t|\lt 10^{-100}$. Докажите, что Надя может действовать так, чтобы гарантированно добиться желаемого. (Надя сама решает, когда ей перестать задавать вопросы).
Ответ:
Решение:
Алёша написал на доске $5$ целых чисел — коэффициенты и корни квадратного трёхчлена. Боря стёр одно из них. Остались числа $2$, $3$, $4$, $-5$ в каком-то порядке. Восстановите стёртое число и докажите, что было написано именно оно.
Ответ:
Решение:
Квадратный трёхчлен $x^2+bx+c$ имеет два действительных корня. Каждый из трёх его коэффициентов (включая коэффициент при $x^2$) увеличили на $1$. Могло ли оказаться, что оба корня трёхчлена также увеличились на $1$?
Ответ:
Решение:
После урока на доске остался график функции $y=\dfrac{k}{x}$ и пять прямых, параллельных прямой $y=kx$ ($k\neq 0$). Найдите произведение абсцисс всех десяти точек пересечения.
Ответ:
Решение:
Уравнение с целыми коэффициентами $x^4+ax^3+bx^2+cx+d=0$ имеет четыре положительных корня с учётом кратности. Найдите наименьшее возможное значение коэффициента $b$ при этих условиях.
Ответ:
Решение:
Решите уравнение \[ x^3+(\log_2 5+\log_3 2+\log_5 3)\,x=(\log_2 3+\log_3 5+\log_5 2)\,x^2+1. \]
Ответ:
Решение:
Многочлен $P(x)=x^3+ax^2+bx+c$ имеет три различных действительных корня, наибольший из которых равен сумме двух других. Докажите, что $c\gt ab$.
Ответ:
Решение:
Васе задали на дом уравнение $x^2+p_1x+q_1=0$, где $p_1$ и $q_1$ — целые числа. Он нашел его корни $p_2$ и $q_2$ и написал новое уравнение $x^2+p_2x+q_2=0$. Повторив операцию еще трижды, Вася заметил, что он решал четыре квадратных уравнения и каждое имело два различных целых корня (если из двух возможных уравнений два различных корня имело ровно одно, то Вася всегда выбирал его, а если оба — любое). Однако, как ни старался Вася, у него не получилось составить пятое уравнение так, чтобы оно имело два различных вещественных корня, и Вася сильно расстроился. Какое уравнение Васе задали на дом?
Ответ:
Решение:
Последовательность $(a_n)$ такова, что $a_n=n^2$ при $1\leqslant n\leqslant 5$ и при всех натуральных $n$ выполнено равенство $a_{n+5}+a_{n+1}=a_{n+4}+a_n$. Найдите $a_{2015}$.
Ответ:
Решение:
День в Анчурии может быть либо ясным, когда весь день солнце, либо дождливым, когда весь день льёт дождь. И если сегодня день не такой, как вчера, то анчурийцы говорят, что сегодня погода изменилась. Однажды анчурийские ученые установили, что $1$ января день всегда ясный, а каждый следующий день в январе будет ясным, только если ровно год назад в этот день погода изменилась. В $2015$ году январь в Анчурии был весьма разнообразным: то солнце, то дожди. В каком году погода в январе впервые будет меняться ровно так же, как в январе $2015$ года?
Ответ:
Решение:
Назовём тройку чисел триплетом, если одно из них равно среднему арифметическому двух других. Дана бесконечная последовательность $(a_n)$, состоящая из натуральных чисел. Известно, что $a_1=a_2=1$ и при $n\gt 2$ число $a_n$ — минимальное натуральное число такое, что среди чисел $a_1, a_2, \ldots, a_n$ нет трёх, образующих триплет. Докажите, что $a_n\leqslant \dfrac{n^2+7}{8}$ для любого $n$.
Ответ:
Решение:
Пусть $f(x)=x^2+3x+2$. Вычислите \[ \left(1-\dfrac{2}{f(1)}\right)\left(1-\dfrac{2}{f(2)}\right)\left(1-\dfrac{2}{f(3)}\right)\ldots\left(1-\dfrac{2}{f(2019)}\right). \]
Ответ:
Решение:
Дана последовательность $a_n=n!\,(n^2-2025n+1)$ для всех натуральных $n$. Найдите сумму первых 2025 членов этой последовательности.
Ответ:
Решение:
Сравните числа \[\left(1+\frac{2}{3^3}\right)\left(1+\frac{2}{5^3}\right)\ldots\left(1+\frac{2}{2013^3}\right)\quad\text{и}\quad\sqrt{\frac32}.\]
Ответ:
Решение:
Существует ли тетраэдр, в сечениях которого двумя разными плоскостями получаются квадраты $1\times 1$ и $100\times 100$?
Ответ:
Решение:
Многогранник (выпуклый) с вершинами в серединах рёбер некоторого куба называется кубооктаэдром. В сечении кубооктаэдра плоскостью получился правильный многоугольник. Какое наибольшее число сторон он может иметь?
Ответ:
Решение:
Известно, что всякую треугольную пирамиду, противоположные рёбра которой попарно равны, можно так разрезать вдоль трёх её рёбер и развернуть, чтобы её развёрткой стал треугольник без внутренних разрезов (см. рисунок). Найдётся ли ещё какой-нибудь выпуклый многогранник, который можно так разрезать вдоль нескольких его рёбер и развернуть, чтобы его развёрткой стал треугольник без внутренних разрезов?
Ответ:
Решение: