Поиск задач
Ищите по условию, ответу и решению. Можно сузить поиск темой, сложностью и источником, а ввод одного числа — это поиск задачи по её номеру.
Найдено задач: 385
В электронную таблицу, где две строки и $n$ столбцов, в произвольном порядке записаны все натуральные числа от 1 до $2n$ (в каждой клетке — одно число). В полдень каждого дня компьютер случайным образом выбирает столбец, где число из верхней строки больше числа из нижней, и меняет эти два числа местами, а затем случайным образом переставляет числа в верхней строке. В момент, когда в каждом столбце верхнее число оказывается меньше нижнего, процесс заканчивается. Докажите, что такой процесс не может происходить дольше, чем $n^2$ дней.
Ответ:
Решение:
В вершины правильного 100-угольника поставили 100 фишек, на которых написаны номера $1, 2, \ldots, 100$, именно в таком порядке по часовой стрелке. За ход разрешается обменять местами некоторые две фишки, стоящие в соседних вершинах, если номера этих фишек отличаются не более чем на $k$. При каком наименьшем $k$ серией таких ходов можно добиться расположения, в котором каждая фишка сдвинута на одну позицию по часовой стрелке (по отношению к своему начальному положению)?
Ответ:
Решение:
Дана окружность длины 90. Можно ли отметить на ней 10 точек так, чтобы среди дуг с концами в этих точках имелись дуги со всеми целочисленными длинами от 1 до 89?
Ответ:
Решение:
На доске написано 100 натуральных чисел, среди которых ровно 33 нечётных. Каждую минуту на доску дописывается сумма всех попарных произведений всех чисел, уже находящихся на ней (например, если на доске были записаны числа 1, 2, 3, 3, то следующим ходом было дописано число $1\cdot2+1\cdot3+1\cdot3+2\cdot3+2\cdot3+3\cdot3$). Можно ли утверждать, что рано или поздно на доске появится число, делящееся на $2^{10000000}$?
Ответ:
Решение:
Замкнутая ломаная состоит из 1001 звена и такова, что никакие три её вершины не лежат на одной прямой. Известно, что каждое её звено, кроме, может быть, двух, пересекает все 998 звеньев, не имеющих с ним общих концов. Верно ли, что каждое из двух оставшихся звеньев тоже пересекает все 998 звеньев, не имеющих с ним общих концов?
Ответ:
Решение:
Сначала Саша прямолинейными разрезами, каждый из которых соединяет две точки на сторонах квадрата, делит квадрат со стороной 2 на 2020 частей. Затем Дима вырезает из каждой части по кругу. Докажите, что Дима всегда может добиться того, чтобы сумма радиусов этих кругов была не меньше 1.
Ответ:
Решение:
В кружке 42 человека, любые двое из которых имеют среди кружковцев не менее десяти общих друзей. Докажите, что найдутся двое, имеющие среди кружковцев не менее двенадцати общих друзей.
Ответ:
Решение:
Для каких натуральных $n$ найдутся такие целые числа $a$, $b$, $c$, $d$, большие, чем $10^{2026}$, что \[ a^2+b^2=c^2+d^2\quad\text{и}\quad a+b-c-d=n? \]
Ответ:
Решение:
Каждую клетку доски $7\times7$ закрасили в один из девяти цветов. Известно, что у каждой клетки, не примыкающей к краю доски, есть соседи (по горизонтали, вертикали или диагонали) всех восьми цветов, не совпадающих с цветом этой клетки. Докажите, что клеток каждого из девяти цветов не меньше четырех.
Ответ:
Решение:
У Олега есть набор из 2024 различных клетчатых прямоугольников размеров $1\times1$, $1\times2$, $1\times3$, …, $1\times2024$ (по одному прямоугольнику каждого размера). Может ли он, выбрав некоторые из них, составить какой-нибудь клетчатый квадрат площади больше 1?
Ответ:
Решение:
Назовём хорошими прямоугольниками квадрат со стороной 2 и прямоугольник со сторонами 1 и 11. Докажите, что любой прямоугольник с целочисленными сторонами, большими 100, можно разрезать на хорошие прямоугольники.
Ответ:
Решение:
Из клетчатого квадрата со стороной 2015 вырезали по клеточкам несколько квадратов со стороной 10. Докажите, что из оставшейся части большого квадрата можно вырезать:
а) один прямоугольник со сторонами 1 и 10;
б) пять прямоугольников со сторонами 1 и 10.
а) один прямоугольник со сторонами 1 и 10;
б) пять прямоугольников со сторонами 1 и 10.
Ответ:
Решение:
Игорь хочет вырезать из клетчатого квадрата размером $11\times11$ 17 клетчатых прямоугольников размером $1\times6$. Можно ли отметить в квадрате одну клеточку так, чтобы она наверняка осталась не вырезанной, как бы Игорь ни старался?
Ответ:
Решение:
Кузнечик начинает движение в левой верхней клетке квадрата $10\times10$. Он может прыгать на одну клетку вниз или вправо. Кроме того, кузнечик может из самой нижней клетки любого столбца перелететь в самую верхнюю клетку того же столбца, а из самой правой клетки любой строки перелететь в самую левую клетку той же строки. Докажите, что кузнечику понадобится хотя бы 9 перелетов, чтобы побывать на каждой клетке квадрата хотя бы по одному разу.
Ответ:
Решение:
Назовем сапогом клетчатую фигуру, составленную из прямоугольника шириной одну и длиной не менее двух клеток и клетки, примыкающей сбоку к одной из крайних клеток этого прямоугольника (на рисунке изображен пример сапога, составленного из 5 клеток; фигуры, которые получаются из изображенного сапога поворотами и переворотами — тоже сапоги). Можно ли какой-нибудь клетчатый квадрат разрезать по границам клеточек на сапоги, среди которых нет равных? Напомним, что фигуры называются равными, если их можно наложить друг на друга так, что они совместятся.
Ответ:
Решение:
Клетчатый прямоугольник $100\times101$ (100 строк, 101 столбец) разбит на полоски $1\times5$ так, что в каждом столбце содержится ровно $k$ вертикальных полосок. Чему может быть равно $k$?
Ответ:
Решение:
При каких натуральных $n$, больших 5, клетчатый квадрат размером $n\times n$ клеток можно без остатка разрезать на прямоугольники из двух клеток и кресты из пяти клеток так, чтобы получились фигуры обоих этих видов? Крест из пяти клеток изображен на рисунке справа.
Ответ:
Решение:
Можно ли прямоугольник $1000\times2016$ разрезать на прямоугольники $1\times2015$ и трёхклеточные «уголки» так, чтобы присутствовали фигурки обоих видов?
Ответ:
Решение:
В белой таблице размером $100\times100$ клеток окрашено в красный цвет $N$ ($N\gt 0$) клеток таким образом, что количество красных клеток в любой фигуре, образованной объединением столбца и строки таблицы, делится на 3. Чему может быть равно $N$?
Ответ:
Решение:
На шахматной доске размером $20\times20$ расставлены 220 коней, которые бьют все свободные клетки. Докажите, что можно убрать 20 коней таким образом, чтобы оставшиеся кони били все свободные клетки. Напомним, что конь бьёт буквой «Г» (см. рисунок).
Ответ:
Решение: