Поиск задач
Ищите по условию, ответу и решению. Можно сузить поиск темой, сложностью и источником, а ввод одного числа — это поиск задачи по её номеру.
Найдено задач: 1118
На декартовой плоскости имеется прямоугольный бильярдный стол с вершинами в точках $(0;0)$, $(0;6)$, $(10;0)$, $(10;6)$ и шар в точке $(2;3)$. Шар при ударе по нему попал в нижнюю правую лузу (точка $(10;0)$), отскочив сначала от верхнего борта, потом от правого, далее от нижнего, потом от левого и, наконец, снова от верхнего. Какое расстояние преодолел шар перед тем, как попасть в лузу? (Считайте, что шар и луза — материальные точки.)
Ответ:
Решение:
Диагонали $BD$ и $AC$ трапеции $ABCD$ пересекаются в точке $M$, а отношение оснований $AD:BC=1:2$. Точки $I_1$ и $I_2$ — центры окружностей $\omega_1$ и $\omega_2$, вписанных в треугольники $BMC$ и $AMD$ соответственно. Прямая, проходящая через точку $M$, пересекает $\omega_1$ в точках $X$ и $Y$, а $\omega_2$ — в точках $Z$ и $W$ ($X$ и $Z$ находятся ближе к $M$). Найдите радиус окружности $\omega_1$, если $I_1I_2=13/2$, а $MZ\cdot MY=5$.
Ответ:
Решение:
Диагонали выпуклого четырёхугольника $ABCD$ пересекаются в точке $O$, и при этом треугольники $BOC$ и $AOD$ — правильные. Точка $T$ симметрична точке $O$ относительно середины стороны $CD$.
а) Докажите, что $ABT$ — правильный треугольник.
б) Пусть дополнительно известно, что $BC=3$, $AD=7$. Найдите отношение площади треугольника $ABT$ к площади четырёхугольника $ABCD$.
а) Докажите, что $ABT$ — правильный треугольник.
б) Пусть дополнительно известно, что $BC=3$, $AD=7$. Найдите отношение площади треугольника $ABT$ к площади четырёхугольника $ABCD$.
Ответ:
Решение:
Диагонали выпуклого четырёхугольника $ABCD$ пересекаются в точке $O$, и при этом треугольники $BOC$ и $AOD$ — правильные. Точка $T$ симметрична точке $O$ относительно середины стороны $CD$.
а) Докажите, что $ABT$ — правильный треугольник.
б) Пусть дополнительно известно, что $BC=2$, $AD=3$. Найдите отношение площади треугольника $ABT$ к площади четырёхугольника $ABCD$.
а) Докажите, что $ABT$ — правильный треугольник.
б) Пусть дополнительно известно, что $BC=2$, $AD=3$. Найдите отношение площади треугольника $ABT$ к площади четырёхугольника $ABCD$.
Ответ:
Решение:
Приведённый квадратный трёхчлен $f(x)$ таков, что каждое из уравнений $f(x)=2x-5$ и $f(x)=10-4x$ имеет ровно по одному решению. При каком наибольшем значении параметра $a$ уравнение $f(x)=a$ также будет иметь ровно одно решение?
Ответ:
Решение:
Пусть $f(x)=ax^2+bx+2$, $a\lt 0$ и $f(10)=0$. Какое наибольшее количество целочисленных решений может иметь неравенство $ax^4+bx^2+2\gt 0$?
Ответ:
Решение:
Про квадратичную функцию $f(x)=ax^2+bx+2$ известно, что \[ a\lt 0\quad\text{и}\quad f(7)=0. \] Какое наибольшее количество целых чисел может быть решением неравенства $ax^4+bx^2+2\gt 0$?
Ответ:
Решение:
Сколько существует квадратных трехчленов вида \[ x^2+ax+b \] с действительными корнями, у которых коэффициенты $a$, $b$ — натуральные числа такие, что $ab=2^{465}$?
Ответ:
Решение:
Дан приведённый квадратный трёхчлен $f(x)$ такой, что
- уравнение $f(x)=2x^2$ имеет единственное решение,
- а также уравнение $f(x)=-8$ имеет единственное решение.
Ответ:
Решение:
Пусть $f(x)=ax^2+bx+2$, $a\lt 0$ и $f(8)=0$. Какое наибольшее количество целочисленных решений может иметь неравенство $ax^4+bx^2+2\gt 0$?
Ответ:
Решение:
Даны квадратный трёхчлен $f(x)$ и линейная функция $\ell(x)$ такая, что $\ell(1)=2$. Известно, что функция $g(x)=f\bigl(\ell(x)\bigr)-\ell\bigl(f(x)\bigr)$ принимает все действительные значения и $g(0)=5$. Найдите $f(1)$, если $f(0)=7$.
Ответ:
Решение:
Про многочлен \[q(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3+a_4x^4+a_5x^5\] известно, что каждый из коэффициентов $a_0,\ldots,a_5$ равен либо $+1$, либо $-1$, а значение $q(2)=-37$. Найдите $q(-3)$.
Ответ:
Решение:
Для какого наибольшего числа $N$ существуют такие числа $m$ и $k$, что $N=m+k$, а уравнения \[x^3-11x=m\quad\text{и}\quad x^2-2x=k\] имеют два общих корня?
Ответ:
Решение:
Про многочлен \[ q(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3+a_4x^4+a_5x^5+a_6x^6 \] известно, что каждый из коэффициентов $a_0,\ldots,a_6$ по модулю равен 0, 1 или 2, а значение $q(3)=546$. Найдите максимально возможное значение $q(4)$.
Ответ:
Решение:
Для какого наибольшего числа $N$ существуют такие числа $m$ и $k$, что $N=m+k$, а уравнения \[ x^3-3x^2-2x=m\quad\text{и}\quad x^3+4x^2-9x=k \] имеют два общих корня?
Ответ:
Решение:
Ответ:
Решение:
Дискриминант приведённого квадратного трёхчлена равен $D$. Найдите его больший корень, если известно, что его корни различны, и они равны $D$ и $1{,}5D$.
Ответ:
Решение:
Для каждого целого $k$ ($-36\leqslant k\leqslant 15$) Петя выписал на доску трёхчлен \[ y=x^2+kx+117. \] После чего Вася для каждого из этих трёхчленов выписал его действительные корни (если они есть). Чему равна сумма выписанных Васей чисел?
Ответ:
Решение:
Пусть $x_1$ и $x_2$ — корни уравнения $2x^2-7x+1=0$. Известно, что уравнение $x^2+px+q=0$ имеет корни $x_1/x_2^2$ и $x_2/x_1^2$. Найдите $p$.
Ответ:
Решение:
Пусть $x_1$ и $x_2$ — корни уравнения $2x^2-7x+1=0$. Известно, что уравнение $x^2+px+q=0$ имеет корни $\dfrac{x_1}{x_2^2}$ и $\dfrac{x_2}{x_1^2}$. Найдите $p$.
Ответ:
Решение: