Поиск задач
Ищите по условию, ответу и решению. Можно сузить поиск темой, сложностью и источником, а ввод одного числа — это поиск задачи по её номеру.
Найдено задач: 1118
Пусть для некоторого $\alpha$ уравнение $ax^2+bx+c=0$ имеет два различных корня $x_1=\cos\alpha$ и $x_2=\sin\alpha$. Какое наименьшее значение может принимать $b$, если $a+2c=\dfrac{9}{a}$?
Ответ:
Решение:
Известно, что если уменьшить каждый из корней уравнения $x^2+bx+c=0$ на $3$, то полученные числа будут корнями уравнения $x^2+cx+b=0$. Найдите сумму всех четырёх корней этих уравнений.
Ответ:
Решение:
Известно, что для положительных чисел $a$, $b$, $c$ каждое из трёх уравнений \[ ax^2+10bx+c=0,\quad bx^2+10cx+a=0,\quad cx^2+10ax+b=0 \] имеет хотя бы один действительный корень. Каково наименьшее значение произведения корней второго уравнения, если произведение корней первого уравнения равно $9$? (Если уравнение имеет два совпадающих корня, то произведение считается равным квадрату этого корня.)
Ответ:
Решение:
Уравнение $x^2+ax+6=0$ имеет два различных корня $x_1$ и $x_2$; при этом \[ x_1-\dfrac{72}{25x_2^3}=x_2-\dfrac{72}{25x_1^3}. \] Найдите все возможные значения $a$.
Ответ:
Решение:
Уравнение $x^2+ax+3=0$ имеет два различных корня $x_1$ и $x_2$; при этом \[ x_1^3-\dfrac{39}{x_2}=x_2^3-\dfrac{39}{x_1}. \] Найдите все возможные значения $a$.
Ответ:
Решение:
Рассматриваются многочлены вида \[ P(x)=x^7+a_1x^6+a_2x^5+a_3x^4+a_4x^3+a_5x^2+a_6x+128 \] с неотрицательными коэффициентами $a_1, a_2, a_3, a_4, a_5, a_6$, имеющие по семь действительных корней (не обязательно различных). Какое наименьшее значение может иметь $P(8)$?
Ответ:
Решение:
Последовательность $a_n$ такова, что $a_1=4$, $a_2=25$. Найдите $a_{200}$, если для любого натурального $n$ справедливо равенство $a_{n+1}=a_n\cdot a_{n+2}$.
Ответ:
Решение:
На доску выписаны числа $a_1, a_2, \ldots, a_{200}$. Известно, что $a_1=3$, $a_2=9$. Найдите $a_{200}$, если для любого натурального $n$ справедливо равенство $a_{n+2}=a_{n+1}-a_n$.
Ответ:
Решение:
Антон выписал на доску числа $A_1, A_2, A_3, \ldots, A_{2025}$ такие, что не все они равны между собой. Внимательно изучив числа на доске, Константин заметил следующую закономерность: для любого натурального значения $k\in[2;2024]$ число $A_{k+1}-A_k$ вдвое меньше, чем $A_{k+1}-A_{k-1}$. Каково наименьшее возможное значение отношения \[ \dfrac{A_{100}-A_{98}}{A_{2023}-A_{2013}}? \]
Ответ:
Решение:
Рассмотрим последовательность натуральных чисел, построенную по следующему правилу: $x_1=14$, $x_2=20$, а $x_{n+1}$ — наименьшее составное число, которое больше, чем $2x_n-x_{n-1}$. Найдите $x_{30001}$.
Ответ:
Решение:
В бесконечной числовой последовательности $x_1,x_2,x_3,\ldots,x_n,\ldots$ не все члены равны между собой. Для всех $n\in\mathbb{N}$ справедливо соотношение \[ 3x_{n+2}-4x_{n+1}+x_n=0. \] Найдите наибольшее возможное значение выражения $\dfrac{x_{2022}-x_{2020}}{x_{2025}-x_{2021}}$. При необходимости ответ округлите до трёх знаков после запятой.
Ответ:
Решение:
Последовательность $x_n$ такова, что $x_0=2$, а для всех целых неотрицательных $n$ \[ \dfrac{x_{n+1}}{4n^2+12n+10}=\dfrac{x_n}{4n^2+4n+2}-1. \] Найдите $x_{100}$.
Ответ:
Решение:
Коля записывает в тетрадь натуральные числа. Первым он пишет число 4, вторым — число 6. Каждое следующее число он пишет по следующему правилу. Если последними записанными числами были числа $a$ и $b$ (в указанном порядке), то следующим он записывает наименьшее составное число, которое больше, чем $2b-a$. Какое число он запишет 1501-м?
Ответ:
Решение:
Вася задал последовательность $x_n$ следующим образом: $x_0=2$, а для любого натурального $n$ \[ x_n=\left(n^4-2n^2+2\right)\left(\dfrac{x_{n-1}}{n^4-4n^3+4n^2+1}+2\right). \] Чему равно значение $x_{100}$?
Ответ:
Решение:
Вычислите значение выражения \[ \left(1+\dfrac{1}{14^2-1}\right)\cdot\left(1+\dfrac{1}{15^2-1}\right)\cdot\left(1+\dfrac{1}{16^2-1}\right)\cdot\ldots\cdot\left(1+\dfrac{1}{300^2-1}\right) \] (ответ округлите до тысячных).
Ответ:
Решение:
Найдите натуральное число $n$, для которого выполняется равенство \[ \dfrac{4^3-1}{4^3+1}\cdot\dfrac{5^3-1}{5^3+1}\cdot\ldots\cdot\dfrac{n^3-1}{n^3+1}=\dfrac{2439}{2639}. \]
Ответ:
Решение:
Пусть $f(n)$ — целое число, ближайшее к числу $\sqrt{n}$. Обозначим $g(n)=\dfrac{1}{f(n)}$. Найдите сумму \[ g(211)+g(212)+\ldots+g(2025). \]
Ответ:
Решение:
Последовательность $x_1,x_2,\ldots,x_n,\ldots$ такова, что $x_1=126\,650$, а для любого натурального значения $n$ справедливо соотношение \[x_1+x_2+\ldots+x_n=\dfrac{n(8n+17)(2n+1)x_n}{15(2n+3)}.\] Найдите $x_{1562}$.
Ответ:
Решение:
Последовательность $a_1, a_2, \ldots, a_n, \ldots$ такова, что $a_1=8\,866\,411$, а для любого натурального значения $n$ справедливо соотношение \[ a_1+a_2+\ldots+a_n=\frac{n(3n-2)(3n+5)a_n}{8}. \] Найдите $a_{508}$.
Ответ:
Решение:
Задана функция $f(x)$ такая, что $f(0)=29\,892\,109$, а для любого натурального значения $k$ справедливо равенство $f(0)+f(1)+\ldots+f(k)=(k+1)(3k+1)f(k)$. Найдите $f(2021)$.
Ответ:
Решение: