Поиск задач
Ищите по условию, ответу и решению. Можно сузить поиск темой, сложностью и источником, а ввод одного числа — это поиск задачи по её номеру.
Найдено задач: 1597
Дан равнобедренный треугольник $ABC$, $AB=BC$. В окружности $\Omega$, описанной около треугольника $ABC$, проведён диаметр $CC'$. Прямая, проходящая через точку $C'$ параллельно $BC$, пересекает отрезки $AB$ и $AC$ в точках $M$ и $P$ соответственно. Докажите, что $M$ — середина отрезка $C'P$.
Ответ:
Решение:
Из вершины тупого угла $A$ треугольника $ABC$ опущена высота $AD$. Проведена окружность с центром $D$ и радиусом $DA$, которая вторично пересекает стороны $AB$ и $AC$ в точках $M$ и $N$ соответственно. Найдите $AC$, если $AB=c$, $AM=m$ и $AN=n$.
Ответ:
Решение:
В остроугольном треугольнике $ABC$ проведены высоты $AD$ и $CE$. Точки $M$ и $N$ — основания перпендикуляров, опущенных на прямую $DE$ из точек $A$ и $C$ соответственно. Докажите, что $ME=DN$.
Ответ:
Решение:
Дан прямоугольный треугольник $ABC$ с катетами $AB=42$ и $BC=56$. Окружность, проходящая через точку $B$, пересекает сторону $AB$ в точке $P$, сторону $BC$ — в точке $Q$, а сторону $AC$ — в точках $K$ и $L$. Известно, что $PK=KQ$ и $QL:PL=3:4$. Найдите $PQ^2$.
Ответ:
Решение:
Прямоугольник $ABCD$ таков, что $AD=2AB$. Точка $M$ — середина стороны $AD$. Внутри прямоугольника нашлась точка $K$ такая, что $\angle AMK=80^\circ$ и луч $KD$ является биссектрисой угла $MKC$. Сколько градусов составляет угол $KDA$?
Ответ:
Решение:
В выпуклом четырёхугольнике $ABCD$ сторона $BC$ вдвое меньше, чем $AD$. Диагональ $AC$ перпендикулярна стороне $CD$, а диагональ $BD$ перпендикулярна стороне $AB$. Найдите больший острый угол этого четырёхугольника, если меньший равен $36^\circ$.
Ответ:
Решение:
На окружности $\omega$ по разные стороны от диаметра $AC$ расположены точки $B$ и $D$. Известно, что $AB=3\sqrt{6}$, $CD=3$, а площадь треугольника $ABC$ в три раза больше площади треугольника $BCD$. Найдите радиус окружности $\omega$.
Ответ:
Решение:
Дан выпуклый четырёхугольник $ABCD$, в котором $AB=BD$. На отрезке $BD$ выбрали точку $K$ так, что $AD\parallel KC$. Описанная окружность треугольника $KDC$ пересекает отрезок $BC$ в точке $L$. Известно, что $\angle ABD=48^\circ$ и $\angle CBD=13^\circ$. Сколько градусов составляет угол $BAL$?
Ответ:
Решение:
В остроугольном треугольнике $ABC$ провели высоты $BB_1$ и $CC_1$. Точки $M$ и $N$ являются серединами сторон $AC$ и $AB$ соответственно. Прямая $C_1M$ повторно пересекает описанную окружность треугольника $BCC_1$ в точке $X$. Точка $O$ является центром описанной окружности треугольника $B_1MX$. Найдите $ON$, если $AB=10$, $B_1M=3$, $\angle A=60^\circ$.
Ответ:
Решение:
В остроугольном треугольнике провели высоту $BH$. На дуге $AC$ описанной окружности треугольника $ABC$, не содержащей точку $B$, отметили точку $X$ такую, что $BX=BC$. Прямая, проходящая через $X$ параллельно $AB$, пересекает отрезки $AC$ и $BC$ в точках $P$ и $Q$. Найдите длину отрезка $PQ$, если $AB=7$, $AC=10$, $AH=3$.
Ответ:
Решение:
Дан прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом $C$. Пусть $BK$ — биссектриса этого треугольника. Окружность, описанная около треугольника $AKB$, пересекает вторично сторону $BC$ в точке $L$. Докажите, что $CB+CL=AB$.
Ответ:
Решение:
Дан остроугольный треугольник $ABC$. Окружности с центрами $A$ и $C$ проходят через точку $B$, вторично пересекаются в точке $F$ и пересекают описанную около треугольника $ABC$ окружность $\omega$ в точках $D$ и $E$. Отрезок $BF$ пересекает окружность $\omega$ в точке $O$. Докажите, что $O$ — центр описанной окружности треугольника $DEF$.
Ответ:
Решение:
В остроугольном треугольнике $ABC$ проведены медиана $AM$ и высота $BH$. Перпендикуляр, восстановленный в точке $M$ к прямой $AM$, пересекает луч $HB$ в точке $K$. Докажите, что если $\angle MAC=30^\circ$, то $AK=BC$.
Ответ:
Решение:
Дан неравнобедренный треугольник $ABC$, в котором $\angle B=135^\circ$. Пусть $M$ — середина отрезка $AC$. Точка $O$ — центр окружности $\Omega$, описанной около треугольника $ABC$. Луч $BM$ вторично пересекает окружность $\Omega$ в точке $D$. Докажите, что центр окружности $\Gamma$, описанной около треугольника $BOD$, лежит на прямой $AC$.
Ответ:
Решение:
В остроугольном треугольнике $ABC$ проведена медиана $BM$. Точки $P$ и $Q$ — центры вписанных окружностей треугольников $ABM$ и $CBM$ соответственно. Докажите, что вторая точка пересечения описанных окружностей треугольников $ABP$ и $CBQ$ лежит на отрезке $BM$.
Ответ:
Решение:
В прямоугольном треугольнике $ABC$ на гипотенузу $AC$ опущена высота $BH$. На стороне $BC$ отмечена точка $D$, на отрезке $BH$ — точка $E$, а на отрезке $CH$ — точка $F$ так, что $\angle BAD=\angle CAE$ и $\angle AFE=\angle CFD$. Докажите, что $\angle AEF=90^\circ$.
Ответ:
Решение:
Остроугольный треугольник $ABC$ вписан в окружность с центром в точке $O$. Прямая $AO$ пересекает отрезок $BC$ в точке $D$. Точка $E$ выбрана на отрезке $BC$ так, что $D$ — середина отрезка $CE$. Основание $T$ перпендикуляра, опущенного из $E$ на $CO$, лежит в треугольнике $ABD$. Прямая $BT$ пересекает окружность, описанную около треугольника $ABD$, в точке $K$. Докажите, что прямые $AK$ и $CO$ параллельны.
Ответ:
Решение:
В треугольнике $ABC$ медианы $AM_A$, $BM_B$ и $CM_C$ пересекаются в точке $M$. Построим окружность $\Omega_A$, проходящую через середину отрезка $AM$ и касающуюся отрезка $BC$ в точке $M_A$. Аналогично строятся окружности $\Omega_B$ и $\Omega_C$. Докажите, что окружности $\Omega_A$, $\Omega_B$ и $\Omega_C$ имеют общую точку.
Ответ:
Решение:
Дан выпуклый четырёхугольник $ABCD$, в котором $\angle DAB=90^\circ$. Пусть $M$ — середина стороны $BC$. Оказалось, что $\angle ADC=\angle BAM$. Докажите, что $\angle ADB=\angle CAM$.
Ответ:
Решение:
Окружность $\omega$ описана около остроугольного треугольника $ABC$. На стороне $AB$ выбрана точка $D$, а на стороне $BC$ — точка $E$ так, что $DE\parallel AC$. Точки $P$ и $Q$ на меньшей дуге $AC$ окружности $\omega$ таковы, что $DP\parallel EQ$. Лучи $QA$ и $PC$ пересекают прямую $DE$ в точках $X$ и $Y$ соответственно. Докажите, что $\angle XBY+\angle PBQ=180^\circ$.
Ответ:
Решение: