Поиск задач
Ищите по условию, ответу и решению. Можно сузить поиск темой, сложностью и источником, а ввод одного числа — это поиск задачи по её номеру.
Найдено задач: 1597
Про тетраэдр $ABCD$ известно, что $AB\cdot CD=AC\cdot BD=AD\cdot BC$. Пусть $I_A$, $I_B$, $I_C$, $I_D$ — центры окружностей, вписанных в треугольники $BCD$, $CDA$, $DAB$ и $ABC$ соответственно. Докажите, что отрезки $AI_A$, $BI_B$, $CI_C$, $DI_D$ пересекаются в одной точке.
Ответ:
Решение:
Все вершины правильного тетраэдра $ABCD$ находятся по одну сторону от плоскости $\alpha$. Оказалось, что проекции вершин тетраэдра на плоскость $\alpha$ являются вершинами некоторого квадрата. Найдите значение величины $AB^2$, если известно, что расстояния от точек $A$ и $B$ до плоскости $\alpha$ равны 17 и 21 соответственно.
Ответ:
Решение:
Дан тетраэдр $ABCD$, все грани которого являются подобными прямоугольными треугольниками с острыми углами при вершинах $A$ и $B$. Ребро $AB$ равно 1. Найдите длину наименьшего ребра тетраэдра.
Ответ:
Решение:
В треугольной пирамиде $ABCD$ на её гранях $BCD$ и $ACD$ нашлись соответственно точки $A'$ и $B'$ такие, что $\angle AB'C=\angle AB'D=\angle BA'C=\angle BA'D=120^\circ$. Известно, что прямые $AA'$ и $BB'$ пересекаются. Докажите, что точки $A'$ и $B'$ равноудалены от прямой $CD$.
Ответ:
Решение:
Дан тетраэдр $ABCD$. Известно, что \[AD=BC=10,\quad AC=BD=11,\quad AB=9\quad\text{и}\quad CD=13.\] Борис выбирает точку $X$ внутри тетраэдра и считает сумму \[AX+BX+CX+DX.\] Какое наименьшее значение он может получить?
Ответ:
Решение:
В тетраэдре $ABCD$ проведены высоты $BE$ и $CF$. Плоскость $\alpha$ перпендикулярна ребру $AD$ и проходит через его середину. Известно, что точки $A$, $C$, $D$ и $E$ лежат на одной окружности, и точки $A$, $B$, $D$ и $F$ также лежат на одной окружности. Докажите, что расстояния от точек $E$ и $F$ до плоскости $\alpha$ равны.
Ответ:
Решение:
В тетраэдре $SABC$ длины всех шести рёбер различны. Точка $A'$ в плоскости $SBC$ симметрична точке $S$ относительно серединного перпендикуляра к отрезку $BC$. Точка $B'$ в плоскости $SAC$ и точка $C'$ в плоскости $SAB$ определяются аналогично. Докажите, что плоскости $AB'C'$, $A'BC'$, $A'B'C$ и $ABC$ имеют общую точку.
Ответ:
Решение:
Плоскость $\alpha$ пересекает рёбра $AB$, $BC$, $CD$ и $DA$ тетраэдра $ABCD$ в точках $X$, $Y$, $Z$ и $T$ соответственно. Оказалось, что точки $Y$ и $T$ лежат на окружности $\omega$, построенной на отрезке $XZ$ как на диаметре. Точка $P$ отмечена в плоскости $\alpha$ так, что прямые $PY$ и $PT$ касаются окружности $\omega$. Докажите, что середины рёбер $AB$, $BC$, $CD$, $DA$ и точка $P$ лежат в одной плоскости.
Ответ:
Решение:
В сосуде, имеющем форму правильной треугольной призмы, находилась вода, причём её уровень составлял 30 сантиметров. Всю эту воду перелили в пустой сосуд, имеющий форму правильной шестиугольной призмы, сторона основания которой вдвое меньше стороны основания треугольной призмы.
Чему равен уровень воды теперь? Ответ выразите в сантиметрах.
Чему равен уровень воды теперь? Ответ выразите в сантиметрах.
Ответ:
Решение:
Три диагонали правильной $n$-угольной призмы пересекаются в одной внутренней точке $O$. Докажите, что точка $O$ — центр призмы. (Диагональ призмы — это отрезок, соединяющий две её вершины, не находящиеся в одной грани.)
Ответ:
Решение:
Дана прямая призма $ABCA_1B_1C_1$. Известно, что треугольники $A_1BC$, $AB_1C$, $ABC_1$ и $ABC$ — остроугольные. Докажите, что точки пересечения высот этих треугольников вместе с точкой пересечения медиан треугольника $ABC$ лежат на одной сфере.
Ответ:
Решение:
Рубик сделал развёртку куба размером $3\times3\times3$ и отметил на ней две точки (см. рисунок). Каково будет расстояние между этими точками после того, как Рубик склеит из развёртки куб?
Ответ:
Решение:
В правильной шестиугольной пирамиде $SABCDEF$ ($ABCDEF$ — основание) боковое ребро равно $a$, плоский угол при вершине $S$ равен $10^\circ$. Муравей ползёт по поверхности пирамиды из вершины $A$, стремится побывать на всех боковых рёбрах (возможно в вершинах) и вернуться в точку $A$. Какова длина его кратчайшего пути?
Ответ:
Решение:
Стороны основания кирпича равны 28 см и 9 см, а высота 6 см. Улитка ползёт прямолинейно по граням кирпича из вершины нижнего основания в противоположную вершину верхнего основания. Горизонтальная и вертикальная составляющие ее скорости $v_x$ и $v_y$ связаны соотношением $v_x^2+4v_y^2=1$ (например, на верхней грани $v_y=0$ см/мин, поэтому $v_x=v=1$ см/мин). Какое наименьшее время может затратить улитка на своё путешествие?
Ответ:
Решение:
Дана правильная десятиугольная призма $A_1A_2\ldots A_{10}B_1B_2\ldots B_{10}$. Некоторая плоскость $\alpha$ пересекает $n$ её рёбер, не проходя ни через одну из точек $A_1$, …, $A_{10}$, $B_1$, …, $B_{10}$.
1. Какое наименьшее натуральное значение может принимать $n$?
2. Какое наибольшее натуральное значение может принимать $n$?
1. Какое наименьшее натуральное значение может принимать $n$?
2. Какое наибольшее натуральное значение может принимать $n$?
Ответ:
Решение:
Дан параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$. На ребре $A_1D_1$ выбрана точка $X$, а на ребре $BC$ выбрана точка $Y$. Известно, что $A_1X=5$, $BY=3$, $B_1C_1=14$. Плоскость $C_1XY$ пересекает луч $DA$ в точке $Z$. Найдите $DZ$.
Ответ:
Решение:
Внутри тетраэдра $ABCD$ даны точки $X$ и $Y$. Расстояния от точки $X$ до граней $ABC$, $ABD$, $ACD$, $BCD$ равны 14, 11, 29, 8 соответственно. А расстояния от точки $Y$ до граней $ABC$, $ABD$, $ACD$, $BCD$ равны 15, 13, 25, 11 соответственно. Найдите радиус вписанной сферы тетраэдра $ABCD$.
Ответ:
Решение:
Дана треугольная пирамида $ABCD$. Сфера $\omega_A$ касается грани $BCD$, а также плоскостей остальных граней вне самих граней. Аналогично, сфера $\omega_B$ касается грани $ACD$, а также плоскостей остальных граней вне самих граней. Пусть $K$ — точка касания сферы $\omega_A$ с плоскостью $ACD$, а $L$ — точка касания сферы $\omega_B$ с плоскостью $BCD$. На продолжениях отрезков $AK$ и $BL$ за точки $K$ и $L$ выбраны точки $X$ и $Y$ соответственно так, что $\angle CKD=\angle CXD+\angle CBD$ и $\angle CLD=\angle CYD+\angle CAD$. Докажите, что точки $X$ и $Y$ равноудалены от середины отрезка $CD$.
Ответ:
Решение:
Сфера с центром в точке $I$ вписана в тетраэдр $ABCD$ и касается его граней $BCD$, $CDA$, $DAB$, $ABC$ в точках $A_1$, $B_1$, $C_1$, $D_1$ соответственно. Отрезок $A_1B_1$ пересекает плоскость $C_1D_1I$ в точке $E$. Докажите, что середина ребра $AB$ лежит в плоскости $CDE$.
Ответ:
Решение:
В пространстве расположен бесконечный цилиндр (т.е. геометрическое место точек, удалённых от данной прямой $\ell$ на данное расстояние $R\gt 0$). Могут ли шесть прямых, содержащих рёбра некоторого тетраэдра, иметь ровно по одной общей точке с этим цилиндром?
Ответ:
Решение: