Поиск задач
Ищите по условию, ответу и решению. Можно сузить поиск темой, сложностью и источником, а ввод одного числа — это поиск задачи по её номеру.
Найдено задач: 306
Для каждого допустимого $a$ найти наименьшее решение уравнения \[ 2\log_a^2 x+\log_a x^3-3=\log_x a^2. \]
Ответ:
Решение:
При каких натуральных $n$ множество решений неравенства \[ 15x^2-2(n+15)x+(n-6)(20-n)\leqslant0 \] содержит ровно $3$ целых числа?
Ответ:
Решение:
При каких значениях $a$ система \[ \begin{cases} 2[x]-3[y]=7,\\ 3x+2y=a \end{cases} \] имеет единственное решение? Здесь $[z]$ — целая часть числа $z$ — наибольшее целое число, не превосходящее $z$.
Ответ:
Решение:
Найти числа $x$, являющиеся решениями уравнения $|x-a|+|x-2a+3|=1$ хотя бы при одном значении $a\in[3;4]$.
Ответ:
Решение:
При каких $a$ уравнение $4\sin^2 x+4a\cos x-5a=0$ имеет решения на отрезке $\left[\frac{\pi}{3};\frac{\pi}{2}\right]$?
Ответ:
Решение:
При каких $a$ уравнение \[ \arcsin(\cos x)=\cos\bigl(\arcsin(x-a)\bigr) \] имеет единственное решение?
Ответ:
Решение:
При каких $a$ система \[ \begin{cases} \left(x^2+(y-7)^2-9\right)\left((x-4)^2+(y-3)^2-1\right)=0,\\ ax-y-4a-2=0 \end{cases} \] имеет четыре решения?
Ответ:
Решение:
При каких $a$ множество решений неравенства $x^2+(|y|-a)^2\leqslant a^2$ содержит все пары чисел $(x;y)$, для которых $(x-4)^2+(y-2)^2\leqslant 1$?
Ответ:
Решение:
При каких $b$ система уравнений \[ \begin{cases} (x-a)^2+(y-a+b)^2=2,\\ (x-y+3)(x-y-1)=0, \end{cases} \] имеет решения при любых $a$?
Ответ:
Решение:
При каких $\alpha$ система уравнений \[ \begin{cases} (x-4\cos\alpha)^2+(y-4\sin\alpha)^2=1,\\ (x-5\cos2\alpha)^2+(y-5\sin2\alpha)^2=9 \end{cases} \] имеет единственное решение?
Ответ:
Решение:
При каких $a$ система уравнений \[ \begin{cases} \left|x\cos a+y\sin a-\dfrac{3}{\sqrt{2}}\right|+|y\cos a-x\sin a|=\dfrac{3}{\sqrt{2}},\\ |x-y|+|x+y|=8 \end{cases} \] имеет единственное решение?
Ответ:
Решение:
При каких значениях $a$ система уравнений \[ \begin{cases} (x^2+y^2-25)(4x+3y-25)=0,\\ (x-6\cos a)^2+(y-6\sin a)^2=1 \end{cases} \] имеет единственное решение?
Ответ:
Решение:
Точки $O$ и $Q$ — центры описанной и вписанной окружностей треугольника $ABC$ соответственно. Прямая $AB$ пересекает отрезок $OQ$ в точке $M$ так, что $OM:MQ=2$. Найти углы треугольника $ABC$, если известно, что $Q$ равноудалена от точек $A$ и $B$.
Ответ:
Решение:
Клиенты интернет магазина «Али-экспресс» проживают в семи домах, расположенных в вершинах выпуклого семиугольника. От жителей первого дома поступил один заказ, от второго дома — два заказа, и т. д. от жителей шестого — шесть заказов. А вот жители последнего седьмого дома сделали $21$ заказ. Менеджер магазина задумался о том в какое место следует доставить все заказы, чтобы суммарное расстояние, преодолеваемое всеми клиентами для получения товара, было минимально возможным. Помогите ему в решении этой задачи и обоснуйте результат.
Ответ:
Решение:
Острый угол треугольника $ABC$ равен $30^\circ$. Найти максимальное возможное значение отношения $r:R$, где $r$ и $R$ — радиусы вписанной и описанной окружностей.
Ответ:
Решение:
Правильный треугольник площади $\sqrt3$ разбит произвольным образом на правильные треугольники. Найти наименьшее возможное значение суммы площадей кругов, описанных около этих треугольников.
Ответ:
Решение:
Точки $M$, $N$, $P$ и $Q$ расположены на сторонах квадрата со стороной $a\gt 5$ так, что отрезки $MN$ и $PQ$ не пересекаются и имеют длины $3$ и $5$ соответственно. Найти наименьшее возможное значение расстояния между серединами этих отрезков.
Ответ:
Решение:
Две параллельные прямые, расстояние между которыми 1, пересекают прямоугольник размерами $3\times 5$ под углом $\alpha=\operatorname{arctg}\frac34$ к его стороне. Найти максимальное возможное значение суммы длин отрезков этих прямых, принадлежащих прямоугольнику.
Ответ:
Решение:
На дуге, равной половине дуги окружности радиуса $R$, расположены 5 точек, являющихся вершинами выпуклого многоугольника. Найти периметр многоугольника, если известно, что сумма квадратов длин его сторон максимально возможная.
Ответ:
Решение: