Поиск задач
Ищите по условию, ответу и решению. Можно сузить поиск темой, сложностью и источником, а ввод одного числа — это поиск задачи по её номеру.
Найдено задач: 1597
Пусть $P(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots+a_1x+a_0$, где $n$ — натуральное число. Известно, что числа $a_0$, $a_1$, …, $a_n$ — целые, при этом $a_n\ne0$, $a_{n-k}=a_k$ при всех $k=0, 1, \ldots, n$, и $a_n+a_{n-1}+\ldots+a_1+a_0=0$. Докажите, что число $P(2022)$ делится на квадрат некоторого натурального числа, большего 1.
Ответ:
Решение:
Дано натуральное число $n$. Илья задумал пару различных многочленов степени $n$ (с вещественными коэффициентами), аналогично Саша задумал пару различных многочленов степени $n$. Лёня знает $n$; его цель — выяснить, одинаковые ли пары многочленов у Ильи и Саши. Лёня выбирает набор из $k$ вещественных чисел $x_1\lt x_2\lt \ldots\lt x_k$ и сообщает эти числа. В ответ Илья заполняет таблицу $2\times k$: для каждого $i=1,2,\ldots,k$ он вписывает в две клетки $i$-го столбца пару чисел $P(x_i)$, $Q(x_i)$ (в любом из двух возможных порядков), где $P$ и $Q$ — задуманные им многочлены. Аналогичную таблицу заполняет Саша. При каком наименьшем $k$ Лёня сможет (глядя на таблицы) наверняка добиться цели?
Ответ:
Решение:
Параболы $y=x^2+ax+b$ и $y=x^2+cx+d$ пересекают ось $Ox$ в точке $(2019;0)$. Докажите, что если точки их вторичного пересечения с осью $Ox$ расположены симметрично относительно начала координат, то и точки их пересечения с осью $Oy$ расположены симметрично относительно начала координат.
Ответ:
Решение:
Существуют ли такие три действительных числа, что если их поставить в одном порядке в качестве коэффициентов квадратного трёхчлена, то он будет иметь два различных положительных корня, а если в другом порядке, то два различных отрицательных корня?
Ответ:
Решение:
Корни уравнения $x^2+px+q=0$ — целые числа, отличные от нуля. Докажите, что число $p^2+(q-1)^2$ составное.
Ответ:
Решение:
Пусть $\alpha$ и $\beta$ — действительные корни уравнения $x^2-x-2021=0$, причём $\alpha\gt \beta$. Обозначим \[A=\alpha^2-2\beta^2+2\alpha\beta+3\beta+7.\] Найдите наибольшее целое число, не превосходящее $A$.
Ответ:
Решение:
Действительные ненулевые числа $a$ и $b$ таковы, что квадратный трёхчлен \[P(x)=ax^2-20ax+b\] имеет два действительных корня, отличающихся на 2.
1. Найдите меньший из этих корней.
2. Найдите $\dfrac{b}{a}$.
1. Найдите меньший из этих корней.
2. Найдите $\dfrac{b}{a}$.
Ответ:
Решение:
Даны квадратные трёхчлены $x^2+ax+b$, $x^2+cx+d$ и $x^2+ex+f$. Оказалось, что любые два из них имеют общий корень, но все три общего корня не имеют. Докажите, что выполнены ровно два неравенства из следующих трёх: \[ \begin{gathered} \dfrac{a^2+c^2-e^2}{4}\gt b+d-f,\\ \dfrac{c^2+e^2-a^2}{4}\gt d+f-b,\\ \dfrac{e^2+a^2-c^2}{4}\gt f+b-d. \end{gathered} \]
Ответ:
Решение:
График квадратного трёхчлена $y=\frac{2}{\sqrt{3}}x^2+bx+c$ пересекает оси координат в трёх точках $K$, $L$ и $M$, как на рисунке ниже. Оказалось, что $KL=KM$ и $\angle LKM=120^\circ$. Найдите корни данного трёхчлена.
Ответ:
Решение:
Приведённые квадратные трёхчлены $P(x)$ и $Q(x)$ таковы, что каждое из чисел \[0,\ 4,\ 6,\ 8,\ 9,\ 12\] является корнем одного из трёхчленов $P(x)$, $Q(x)$, $P(x)+Q(x)$. Чему равно $P(0)+Q(0)$?
Напомним, что квадратный трёхчлен $ax^2+bx+c$ называется приведённым, если $a=1$.
Напомним, что квадратный трёхчлен $ax^2+bx+c$ называется приведённым, если $a=1$.
Ответ:
Решение:
Квадратный трехчлен $f(x)=ax^2+bx+c$ имеет два различных вещественных корня $x_1$ и $x_2$. Известно, что $f(x_1+x_2)=2025$. Чему может равняться $c$?
Ответ:
Решение:
Два приведённых квадратных трёхчлена $f(x)$ и $g(x)$ таковы, что каждый из них имеет по два корня, и выполняются равенства $f(1)=g(2)$ и $g(1)=f(2)$. Найдите сумму всех четырёх корней этих трёхчленов.
Ответ:
Решение:
График функции $f(x)=\frac{1}{12}x^2+ax+b$ пересекает ось $Ox$ в точках $A$ и $C$, а ось $Oy$ — в точке $B$, как изображено на рисунке. Оказалось, что для точки $T$ с координатами $(3;3)$ выполнено условие $TA=TB=TC$. Найдите $b$.
Ответ:
Решение:
Даны различные вещественные числа $a_1$, $a_2$, $a_3$ и $b$. Оказалось, что уравнение \[ (x-a_1)(x-a_2)(x-a_3)=b \] имеет три различных вещественных корня $c_1$, $c_2$, $c_3$. Найдите корни уравнения \[ (x+c_1)(x+c_2)(x+c_3)=b. \]
Ответ:
Решение:
Числа $a$ и $b$ таковы, что каждый из двух квадратных трёхчленов $x^2+ax+b$ и $x^2+bx+a$ имеет по два различных корня, а произведение этих трёхчленов имеет ровно три различных корня. Найдите все возможные значения суммы этих трёх корней.
Ответ:
Решение:
На доске пишут $n$ квадратных трёхчленов вида $\ast x^2+\ast x+\ast$ (вместо коэффициентов написаны звёздочки). Можно ли при каком-либо $n\gt 100$ поставить вместо $3n$ звёздочек некоторые $3n$ последовательных натуральных чисел (в каком-то порядке) так, чтобы каждый из $n$ данных трёхчленов имел два различных целых корня?
Ответ:
Решение:
Дан многочлен $P(x)$ степени $n\gt 1$ с вещественными коэффициентами. Известно, что уравнение $P(P(P(x)))=P(x)$ имеет ровно $n^3$ различных вещественных корней. Докажите, что эти $n^3$ корней можно разбить на две группы с равными средними арифметическими.
Ответ:
Решение:
Уравнение \[ t^4+at^3+bt^2=(a+b)(2t-1) \] имеет положительные решения $t_1\lt t_2\lt t_3\lt t_4$. Докажите, что $t_1t_4\gt t_2t_3$.
Ответ:
Решение:
При каком наименьшем $k$ для любого многочлена $f(x)$ степени 100 с вещественными коэффициентами найдётся такой многочлен $g(x)$ степени не выше $k$ с вещественными коэффициентами, что графики $y=f(x)$ и $y=g(x)$ имеют ровно 100 общих точек?
Ответ:
Решение:
Пусть $P(x)$ — многочлен степени $n$ с вещественными коэффициентами, у которого старший коэффициент равен 1. Оказалось, что можно выбрать 100 попарно различных вещественных корней $x_1$, $x_2$, $\ldots$, $x_{100}$ у многочлена $P(x)$ и 100 попарно различных вещественных корней $y_1$, $y_2$, $\ldots$, $y_{100}$ у многочлена $P(x)-1$ так, чтобы числа $x_i$ и $y_i$ отличались на 1 при всех $i=1, 2, \ldots, 100$. Каково наименьшее возможное значение $n$?
Ответ:
Решение: