Поиск задач
Ищите по условию, ответу и решению. Можно сузить поиск темой, сложностью и источником, а ввод одного числа — это поиск задачи по её номеру.
Найдено задач: 561
Филателист Андрей решил разложить все свои марки поровну в 3 конверта, но оказалось, что одна марка лишняя. Когда он разложил их поровну в 5 конвертов, лишними оказались 3 марки; наконец, когда он разложил их поровну в 7 конвертов, осталось 5 марок. Сколько всего марок у Андрея, если известно, что недавно он купил для них дополнительный альбом, вмещающий 150 марок, так как такого же старого альбома уже не хватало?
Ответ:
Решение:
Аня выписала одно за другим 2018 чисел $\frac{1\cdot2}{2}$, $\frac{2\cdot3}{2}$, $\frac{3\cdot4}{2}$, $\ldots$, $\frac{2018\cdot2019}{2}$ и вычислила их. Сколько из получившихся чисел имеют в десятичной записи последнюю цифру 5?
Ответ:
Решение:
Натуральные числа $m$ и $n$, $m\neq n$, таковы, что число $2013^m$ имеет такие же две последние цифры, как и $2013^n$.
а) Приведите пример таких чисел $m$ и $n$.
б) Выясните, какое наименьшее значение может принимать величина $m+n$.
а) Приведите пример таких чисел $m$ и $n$.
б) Выясните, какое наименьшее значение может принимать величина $m+n$.
Ответ:
Решение:
Число $n+2015$ делится на $2016$, а число $n+2016$ делится на $2015$. Найдите наименьшее натуральное $n$, при котором это возможно.
Ответ:
Решение:
Таня задумала две такие цифры $a$ и $b$, что составленное из них двузначное число является простым и произведение двух четырёхзначных чисел $\overline{793a}$ и $\overline{1b09}$ при делении на 11 дает в остатке 1. Определите все возможные значения получающегося простого числа.
Ответ:
Решение:
Толя задумал две такие цифры $a$ и $b$, что составленное из них двузначное число является простым и произведение двух четырёхзначных чисел $\overline{180a}$ и $\overline{4b78}$ при делении на $11$ дает в остатке $1$. Определите все возможные значения получающегося простого числа.
Ответ:
Решение:
Прямоугольный треугольник называется пифагоровым, если длины всех его сторон — натуральные числа. Найдите наибольшее целое число, на которое делится произведение длин сторон любого пифагорова треугольника.
Ответ:
Решение:
Дан набор из $n$ гирь, самая легкая весит $3$ грамма, каждая следующая имеет вес на $1$ грамм меньший, чем удвоенный вес предыдущей гири. Найдите все $n$, $9\lt n\lt 16$, для которых все гири можно расположить на двух чашах весов так, чтобы весы пришли в равновесие.
Ответ:
Решение:
При каждом значении $a$ решите уравнение \[ |x-1|+|x+1|+|x-2|+|x+2|+|x-3|+|x+3|+\ldots+|x-2015|+|x+2015|+2x^2+2a^2+4030^2-8060x-8060a=4030x. \]
Ответ:
Решение:
Найдите все положительные значения параметра $a$, при которых среди чисел последовательности \[x_n=-n^2+10n+22+\frac{10}{|5n-31|+a}\,,\quad n=1,2,\ldots\] есть ровно два максимальных элемента.
Ответ:
Решение:
Найдите все значения $a$, при каждом из которых уравнение \[ 25^{-|x-a|}\log_{\sqrt[5]{7}}(x^2-2x+3)+5^{-x^2+2x}\log_{\frac17}(2|x-a|+2)=0 \] имеет ровно три различных решения.
Ответ:
Решение:
Укажите все значения параметра $a$, при каждом из которых система \[ \begin{cases} x^2+2y^2+2y(x-a)+a^2=0, \\ 2^{-2-y}\cdot\log_2 x\lt 1 \end{cases} \] имеет решения, и найдите эти решения.
Ответ:
Решение:
Для каждого значения $a$ решите уравнение \[ \left|x-2^{\frac{1}{\sin^2(2a)}}\right|+\left|x-2^{-4\operatorname{tg}(3a)}\right|+a\left(a+\frac{\pi}{12}\right)^2\left(a-\frac{\pi}{12}\right)=0. \]
Ответ:
Решение:
При каких значениях параметра $a$ неравенство \[3\cdot 4^x-6a\cdot 2^x+3a^2+2a-14\lt 0\] не имеет решений?
Ответ:
Решение:
Найдите все значения $a$, при которых уравнение \[ \log_2^2\left(\dfrac{2x}{1+x^2}\right)+2(a-1)\log_2\left(\dfrac{x}{1+x^2}\right)+a^2-a-2=0 \] имеет решение.
Ответ:
Решение:
Найдите все значения $a$, при каждом из которых неравенство \[ a\log_3 x+\log_{\frac12}x\gt 1 \] имеет решения, причём среди решений нет бо́льших 1.
Ответ:
Решение:
Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых графики функций \[f(x)=3^{2x^2-4x+3}+a^3\quad\text{и}\quad g(x)=a\cdot3^{x^2-2x+3}-5\] имеют ровно три общие точки.
Ответ:
Решение:
Найдите все значения $a$, при каждом из которых сумма длин промежутков, составляющих множество (возможно, пустое) решений неравенства \[ \log_2\left(x^2+4ax+4a^2-a\right)\lt 2, \] меньше 2.
Ответ:
Решение: