Поиск задач
Ищите по условию, ответу и решению. Можно сузить поиск темой, сложностью и источником, а ввод одного числа — это поиск задачи по её номеру.
Найдено задач: 1118
При каких значениях параметра $a$ система уравнений \[ \begin{cases} |x|-|x-y|=2x-y,\\ x^2+y^2+8y=a \end{cases} \] имеет ровно два решения?
Ответ:
Решение:
Вписанная в прямоугольный треугольник окружность делит точкой касания один из катетов на отрезки длины $6$ и $7$. Найдите длину гипотенузы.
Ответ:
Решение:
Точка $O$ — центр окружности, вписанной в треугольник $ABC$. Известно, что $BC=16$, $CA=55$, $\angle AOB=120^\circ$. Найдите сторону $AB$.
Ответ:
Решение:
В параллелограмме $ABCD$ известно, что $AB=50$, $BC=21$ и $\cos\angle BAD=3/5$. Найдите расстояние между центрами окружностей, описанных около треугольников $BAD$ и $BCD$.
Ответ:
Решение:
В равнобедренном треугольнике $ABC$ проведена медиана $AM$ к боковой стороне. Найдите квадрат радиуса окружности, описанной около треугольника $ABC$, если радиусы окружностей, описанных около треугольников $ABM$ и $AMC$, равны $30$ и $15$.
Ответ:
Решение:
Окружность с центром $I$ вписана в треугольник $ABC$ и касается его стороны $BC$ в точке $D$. Пусть $E$ — середина $BC$, а точка $F$ взята на стороне $AC$ так, что $BF\perp AI$. Найдите длину отрезка $CF$, если $AB=20$, $BC=16$, $DE=2$.
Ответ:
Решение:
Биссектрисы прямоугольного треугольника $ABC$ с гипотенузой $AC$ пересекаются в точке $P$. Окружность с диаметром $BP$ пересекает катеты $AB$ и $BC$ в точках $K$ и $M$ соответственно. Прямые $KP$ и $MP$ пересекают гипотенузу в точках $E$ и $T$ соответственно. Найдите площадь четырёхугольника $KBMP$, если $PT=3$, $EP=4$.
Ответ:
Решение:
В остроугольном треугольнике $ABC$ проведена высота $BH$. Точки $P$ и $Q$ — центры окружностей, вписанных в треугольники $ABH$ и $BCH$ соответственно, а $\sqrt{6}$ и $\sqrt{24}$ — радиусы этих окружностей. Найдите наименьшее возможное значение площади треугольника $HPQ$.
Ответ:
Решение:
В равнобедренном треугольнике $ABC$ проведена медиана $AM$ к боковой стороне. Найдите квадрат радиуса окружности, описанной около треугольника $ABC$, если радиусы окружностей, описанных около треугольников $ABM$ и $AMC$, равны соответственно $33$ и $11$.
Ответ:
Решение:
Окружность $\omega$ радиуса $4$ с центром $O$ вписана в остроугольный треугольник $EFQ$ и касается его сторон $FQ$ и $EQ$ в точках $M$ и $P$ соответственно. Окружность $\Omega$ радиуса $\sqrt{65}/2$ с центром $T$ описана около треугольника $PQM$.
а) Найдите $OQ$.
б) Пусть дополнительно известно, что отношение площади треугольника $FTE$ к площади треугольника $EFQ$ равно $2/3$. Найдите длину биссектрисы $QA$ треугольника $EFQ$, а также его площадь.
а) Найдите $OQ$.
б) Пусть дополнительно известно, что отношение площади треугольника $FTE$ к площади треугольника $EFQ$ равно $2/3$. Найдите длину биссектрисы $QA$ треугольника $EFQ$, а также его площадь.
Ответ:
Решение:
Пусть $AC$ — наибольшая сторона треугольника $ABC$. На отрезке $AC$ выбраны точки $K$ и $M$ так, что $AM=AB$ и $CK=CB$. Известно, что радиус окружности, описанной около треугольника $KBM$, равен 10, радиус окружности, вписанной в треугольник $ABC$, равен 9, и эта окружность касается стороны $BC$ в точке $T$. Найдите квадрат длины отрезка $BT$.
Ответ:
Решение:
В треугольнике $ABC$ известно, что $AB=3$, $AC=4$, $\angle BAC=60^\circ$. Продолжение биссектрисы $AA_1$ пересекает окружность, описанную около треугольника $ABC$, в точке $A_2$. Найдите площади треугольников $OA_2C$ и $A_1A_2C$ ($O$ — центр окружности, описанной около треугольника $ABC$).
Ответ:
Решение:
Пусть $AC$ — наибольшая сторона треугольника $ABC$. На отрезке $AC$ выбраны точки $K$ и $M$ так, что $AM=AB$ и $CK=CB$. Известно, что радиус окружности, описанной около треугольника $KBM$, равен 13, радиус окружности, вписанной в треугольник $ABC$, равен 11, и эта окружность касается стороны $BC$ в точке $T$. Найдите квадрат длины отрезка $BT$.
Ответ:
Решение:
Окружность с центром $O$, вписанная в треугольник $PQR$, касается его сторон $PQ$, $QR$ и $RP$ в точках $C$, $A$ и $B$ соответственно. Прямые $BO$ и $CO$ пересекают стороны $PQ$ и $PR$ в точках $K$ и $L$ соответственно. Найдите отношение $QA:AR$, если $KQ=3$, $QR=16$, $LR=1$.
Ответ:
Решение:
В прямоугольный треугольник $ABC$ ($\angle B=90^\circ$) вписана окружность $\Gamma$ с центром $I$, которая касается сторон $AB$ и $BC$ в точках $K$ и $L$ соответственно. Прямая, проходящая через точку $I$, пересекает стороны $AB$ и $BC$ в точках $M$ и $N$ соответственно. Найдите радиус окружности $\Gamma$, если $MK=144$, $NL=25$. Найдите $AC$, если дополнительно известно, что прямая $MN$ параллельна $AC$.
Ответ:
Решение:
В треугольнике $ABC$ с острыми углами при вершинах $A$ и $B$ проведена высота $CH$. Точки $M$ и $N$ — середины сторон $AC$ и $BC$ соответственно. Площадь треугольника $AHM$ равна $90$, а радиус вписанной в него окружности равен $\dfrac{18}{5}$. Площадь треугольника $BHN$ равна $420$, а радиус вписанной в него окружности равен $\dfrac{42}{5}$. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник $ABC$.
Ответ:
Решение:
Точка $E$ лежит на стороне $AB$ прямоугольника $ABCD$, и при этом $\angle CED=90^\circ$. Точки $O$, $P$, $Q$ являются центрами окружностей, описанных около треугольников $ADE$, $BCE$, $CDE$ соответственно. Найдите площадь прямоугольника $ABCD$, если $OQ=20$, $OP=29$.
Ответ:
Решение:
Внутри треугольника $ABC$ расположены такие точки $D$, $E$ и $F$, что точка $D$ лежит на отрезке $AE$, точка $E$ лежит на отрезке $BF$, а точка $F$ лежит на отрезке $CD$. Известно, что центр окружности $\Omega$, описанной вокруг треугольника $ABC$, совпадает с центром окружности, вписанной в треугольник $DEF$. Также дано, что $\angle DEF=90^\circ$, $DE/EF=5/3$, радиус окружности $\Omega$ равен $6$, а отношение площадей $S_{ABC}/S_{DEF}=12{,}8$. Найдите $DF$.
Ответ:
Решение:
В углы $A$ и $B$ треугольника $ABC$ вписаны соответственно окружности с центрами $O_1$ и $O_2$ равного радиуса, точка $O$ — центр окружности, вписанной в треугольник $ABC$. Данные окружности касаются стороны $AB$ в точках $K_1$, $K_2$ и $K$ соответственно, при этом $AK_1=4$, $BK_2=6$ и $AB=16$.
а) Найдите длину отрезка $AK$.
б) Пусть окружность с центром $O_1$ касается стороны $AC$ в точке $K_3$. Найдите угол $CAB$, если известно, что точка $O_1$ является центром окружности, описанной около треугольника $OK_1K_3$.
а) Найдите длину отрезка $AK$.
б) Пусть окружность с центром $O_1$ касается стороны $AC$ в точке $K_3$. Найдите угол $CAB$, если известно, что точка $O_1$ является центром окружности, описанной около треугольника $OK_1K_3$.
Ответ:
Решение:
В углы $C$ и $B$ треугольника $ABC$ вписаны соответственно окружности с центрами $O_1$ и $O_2$ равного радиуса, точка $O$ — центр окружности, вписанной в треугольник $ABC$. Данные окружности касаются стороны $BC$ в точках $K_1$, $K_2$ и $K$ соответственно, при этом $CK_1=3$, $BK_2=7$ и $BC=16$.
а) Найдите длину отрезка $CK$.
б) Пусть окружность с центром $O_1$ касается стороны $AC$ в точке $K_3$. Найдите угол $ACB$, если известно, что точка $O_1$ является центром окружности, описанной около треугольника $OK_1K_3$.
а) Найдите длину отрезка $CK$.
б) Пусть окружность с центром $O_1$ касается стороны $AC$ в точке $K_3$. Найдите угол $ACB$, если известно, что точка $O_1$ является центром окружности, описанной около треугольника $OK_1K_3$.
Ответ:
Решение: