Поиск задач
Ищите по условию, ответу и решению. Можно сузить поиск темой, сложностью и источником, а ввод одного числа — это поиск задачи по её номеру.
Найдено задач: 1118
Точка $A$ лежит на стороне $LM$ треугольника $KLM$ с углом $120^\circ$ при вершине $K$. В треугольники $AKL$ и $AKM$ вписаны окружности с центрами $F$ и $O$ соответственно. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника $FKO$, если $AO=2$, $AF=7$.
Ответ:
Решение:
На основании $AD$ трапеции $ABCD$ отмечена точка $F$. Оказалось, что $AB=BF$ и $FC=CD$. Радиусы окружностей, вписанных в треугольники $ABF$, $FCD$, $BFC$ равны 2, 5 и 4 соответственно. Найдите отношение $AF:FD$.
Ответ:
Решение:
Вписанная окружность остроугольного треугольника $ABC$ касается сторон $AC$ и $AB$ в точках $E$ и $D$. Точка $Y$ — основание перпендикуляра, опущенного из точки $E$ на $AB$, а $X$ — вторая точка пересечения $EY$ со вписанной окружностью треугольника $ABC$. Найдите радиус этой окружности, если площадь треугольника $AXD$ равна 12, а $5AD=6EY$.
Ответ:
Решение:
Треугольник $ABC$ вписан в окружность. Пусть $M$ — середина той дуги $AB$ описанной окружности, которая не содержит точку $C$; $N$ — середина той дуги $AC$ описанной окружности, которая не содержит точку $B$. Найдите расстояние от вершины $A$ до центра окружности, вписанной в треугольник $ABC$, если расстояния от точек $M$ и $N$ до сторон $AB$ и $AC$ соответственно равны $4{,}5$ и $2$.
Ответ:
Решение:
Вокруг треугольника $ABC$ описана окружность $\Omega$. Точки $D$ и $E$ — середины сторон $AC$ и $AB$ соответственно, $CF$ — биссектриса треугольника $ABC$. Лучи $DE$ и $CF$ пересекаются в точке $G$, принадлежащей $\Omega$. Найдите углы треугольника $ABC$, если известно, что $\dfrac{CF}{DF}=\dfrac12$.
Ответ:
Решение:
Вписанная окружность $\omega$ прямоугольного треугольника $ABC$ с прямым углом $B$ касается его сторон $CA$, $AB$, $BC$ в точках $D$, $E$, $F$ соответственно. Луч $ED$ пересекает прямую, перпендикулярную $BC$, проходящую через вершину $C$, в точке $Y$; $X$ — вторая точка пересечения прямой $FY$ с окружностью $\omega$. Известно, что $EX=2\sqrt2XY$. Найдите отношение $AD:DC$.
Ответ:
Решение:
Ответ:
Решение:
Какая наибольшая площадь может быть у треугольника, если длины двух его медиан равны $12$ и $17$, а угол между ними равен $150^\circ$?
Ответ:
Решение:
Расстояние между центрами двух квадратов со стороной 1 равно $0{,}8$, а одна из сторон первого квадрата параллельна одной из сторон второго. Какую наименьшую площадь может иметь их общая часть?
Ответ:
Решение:
На сторонах $AB$ и $AD$ квадрата $ABCD$ со стороной $12$ отмечены точки $E$ и $F$ соответственно. Угол $ECF$ равен $60^\circ$. Из вершин $B$ и $D$ проведены перпендикуляры к отрезкам $CE$ и $CF$. Какая наибольшая площадь может быть у четырёхугольника с вершинами в основаниях этих перпендикуляров?
Ответ:
Решение:
На сторонах $AB$ и $AD$ квадрата $ABCD$ со стороной $24$ отмечены точки $E$ и $F$ соответственно. Угол $ECF$ равен $30^\circ$. Из вершин $B$ и $D$ проведены перпендикуляры к отрезкам $CE$ и $CF$. Какая наибольшая площадь может быть у четырёхугольника с вершинами в основаниях этих перпендикуляров?
Ответ:
Решение:
В остроугольном треугольнике $ABC$ провели высоту $BH$. Пусть $M$ — середина отрезка $BH$. Точку $M$ отразили симметрично относительно сторон $AB$ и $CB$, получив точки $K$ и $L$ соответственно. Радиус окружности, описанной около треугольника $KLM$, равен $13\sqrt3$. Какое наибольшее значение может принимать длина отрезка $KH$, если угол $BAC$ равен $60^\circ$?
Ответ:
Решение:
На трёх параллельных прямых $\ell_1$, $\ell_2$, $\ell_3$ взяты точки $A_1$, $A_2$, $A_3$ соответственно, и при этом $A_1A_2=A_1A_3$. Известно, что расстояние между прямыми $\ell_1$ и $\ell_2$ равно $5$, расстояние между $\ell_1$ и $\ell_3$ равно $8$, а расстояние между $\ell_2$ и $\ell_3$ равно $13$. Найдите минимально возможную площадь треугольника $A_1A_2A_3$.
Ответ:
Решение:
На трёх параллельных прямых $\ell_1$, $\ell_2$, $\ell_3$ взяты точки $A_1$, $A_2$, $A_3$ соответственно, и при этом треугольник $A_1A_2A_3$ равнобедренный. Известно, что расстояние между прямыми $\ell_1$ и $\ell_2$ равно 3, расстояние между $\ell_1$ и $\ell_3$ равно 13, а расстояние между $\ell_2$ и $\ell_3$ равно 16. Найдите минимально возможную площадь треугольника $A_1A_2A_3$.
Ответ:
Решение:
Цветочный луг, гречишное поле и липовая роща расположены в трёх точках, не лежащих на одной прямой. Пасечник поставил улей на прямолинейной тропинке между лугом и полем так, чтобы сумма расстояний от улья до луга, поля и рощи была наименьшей. На каком расстоянии от луга установлен улей, если известно, что длина тропинки равна $1000$ м, расстояния от улья до луга, рощи и поля (в указанном порядке) являются тремя последовательными членами некоторой геометрической прогрессии, а длина тропинки, расстояние от рощи до луга и расстояние от рощи до поля — соответственно вторым, четвёртым и шестым членами некоторой арифметической прогрессии?
Ответ:
Решение:
На гипотенузе $AB$ равнобедренного прямоугольного треугольника $ABC$ отмечены точки $P$ и $Q$ ($P$ лежит между $A$ и $Q$) такие, что $AP^2+BQ^2=PQ^2=\sqrt{578}$. Найдите наименьшее возможное значение радиуса описанной около треугольника $CPQ$ окружности.
Ответ:
Решение:
Хорды $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $X$. $M$ — точка пересечения биссектрисы угла $BXD$ с хордой $BD$. Найдите отрезок $BM$, если $BD=27$, а площади треугольников $CXB$ и $AXD$ относятся как $25:16$.
Ответ:
Решение:
Вершины треугольника делят описанную вокруг него окружность на три дуги. Длины отрезков, соединяющих середины двух из этих дуг с серединами хорд, стягивающих эти дуги, равны $2$ и $9$. Найдите периметр треугольника, если радиус окружности равен $17$.
Ответ:
Решение:
Окружность проходит через вершины $A$ и $B$ прямоугольного треугольника $ABC$ ($\angle C=90^\circ$), а также через точку $L$ пересечения стороны $BC$ с биссектрисой $AL$. Катет $AC$ точкой пересечения $N$ с окружностью оказался разделён на два отрезка: $AN=4$, $NC=8$. Найдите площадь треугольника $ABC$. При необходимости округлите ответ до двух знаков после запятой.
Ответ:
Решение:
Точка $K$ расположена вне окружности $\Omega$ с центром $O$, точка $M$ — внутри $\Omega$, а точка $P$ — на $\Omega$. Отрезок $KM$ пересекает $\Omega$ в точке $L$, а прямая $KP$ касается окружности. Найдите квадрат радиуса окружности, если известно, что $OM=2$, $LM=5$, $KL=9$, $KP=12$.
Ответ:
Решение: