Поиск задач
Ищите по условию, ответу и решению. Можно сузить поиск темой, сложностью и источником, а ввод одного числа — это поиск задачи по её номеру.
Найдено задач: 1118
В треугольнике $ABC$ со сторонами $BC=12$, $AB=17$, $CA=10$ из вершины $B$ опущены перпендикуляры $BD$ и $BE$ на биссектрисы углов $BAC$ и $BCA$ соответственно. Найдите длину отрезка $DE$.
Ответ:
Решение:
В треугольнике $ABC$ медианы $BD$ и $CE$ пересекаются в точке $M$. Окружность, построенная на отрезке $BM$ как на диаметре, проходит через вершину $C$ и касается прямой $DE$. Известно, что $CM=4$. Найдите высоту $AH$ треугольника $ABC$, угол $CBD$ и площадь треугольника $ABC$.
Ответ:
Решение:
В выпуклом четырёхугольнике $ABCD$ проведена диагональ $BD$, и в каждый из полученных треугольников $ABD$ и $BCD$ вписана окружность. Прямая, проходящая через вершину $B$ и центр одной из окружностей, пересекает сторону $DA$ в точке $M$. При этом $AM=\frac85$ и $MD=\frac{12}5$. Аналогично, прямая, проходящая через вершину $D$ и центр второй окружности, пересекает сторону $BC$ в точке $N$. При этом $BN=\frac{30}{11}$ и $NC=\frac{25}{11}$.
а) Найдите отношение $AB:CD$.
б) Найдите длины сторон $AB$ и $CD$, если дополнительно известно, что данные окружности касаются друг друга.
а) Найдите отношение $AB:CD$.
б) Найдите длины сторон $AB$ и $CD$, если дополнительно известно, что данные окружности касаются друг друга.
Ответ:
Решение:
Внутри угла $ABC$, меньшего $135^\circ$, взяты точки $M$ и $N$ так, что $\angle ABM=\angle MBN=\angle NBC$, $AM\perp BM$ и $AN\perp BN$. Прямая $MN$ пересекает луч $BC$ в точке $K$. Найдите $MK$, если $BM=6$, $BK=\sqrt{11}$.
Ответ:
Решение:
Внутри угла $ABC$, меньшего $135^\circ$, взяты точки $M$ и $N$ так, что $\angle ABM=\angle MBN=\angle NBC$, $AM\perp BM$ и $AN\perp BN$. Прямая $MN$ пересекает луч $BC$ в точке $K$. Найдите $BN$, если $BM=24$, $BK=3$.
Ответ:
Решение:
Высоты $CF$ и $AE$ остроугольного треугольника $ABC$ пересекаются в точке $H$. Точки $M$ и $N$ — середины отрезков $AH$ и $CH$ соответственно. Известно, что $FM=2$, $EN=5$, и при этом $FM\parallel EN$. Найдите $\angle ABC$, площадь треугольника $ABC$ и радиус описанной около него окружности.
Ответ:
Решение:
Найдите количество треугольников периметра $1200$ с целочисленными сторонами, у которых одна из биссектрис перпендикулярна одной из медиан.
Ответ:
Решение:
Найдите количество треугольников периметра 600 с целочисленными сторонами, у которых одна из биссектрис перпендикулярна одной из медиан.
Ответ:
Решение:
Прямая, параллельная биссектрисе $AX$ треугольника $ABC$, проходящая через середину $M$ его стороны $BC$, пересекает сторону $AB$ и продолжение стороны $AC$ в точках $Z$ и $Y$ соответственно. Найдите $BC$, если $AC=18$, $AZ=6$, $YZ=8$.
Ответ:
Решение:
Остроугольный треугольник $ABC$ вписан в окружность с центром $O$, а $AA_1$ и $BB_1$ — его высоты. Найдите расстояние от точки $O$ до стороны $AC$, если $AB_1=6$ и площадь треугольника $OBA_1$ равна $6$.
Ответ:
Решение:
Угол $A$ остроугольного треугольника $ABC$ равен $60^\circ$, а $AB\gt AC$. Пусть $I$ — точка пересечения биссектрис, а $H$ — точка пересечения высот этого треугольника. Найдите $\angle ABC$, если $\angle AHI=78^\circ$. Ответ укажите в градусах.
Ответ:
Решение:
В треугольнике $ABC$ со стороной $BC=3\sqrt{193}$ ортогональные проекции медианы $BM$ на прямые $AB$ и $AC$ равны и имеют длину $25{,}2$. Найдите длину биссектрисы $AL$ треугольника $ABC$.
Ответ:
Решение:
На медиане $AM$ треугольника $ABC$ выбрана точка $P$ такая, что $\angle BAC+\angle BPC=180^\circ$. Найдите $AC$, если известно, что $AB=5$, $BP=3$, $CP=4$.
Ответ:
Решение:
Окружность $\omega$, построенная на высоте $AH$ треугольника $ABC$ как на диаметре, пересекает сторону $AB$ этого треугольника в её середине $M$. Высота $AH$ лежит внутри треугольника. На стороне $AC$ отмечена точка $X$ такая, что $CM$ делит отрезок $HX$ пополам. Найдите отношение $AX:XC$, если $BC:AB=2\sqrt{2}$.
Ответ:
Решение:
Высоты $AA_1$ и $CC_1$ остроугольного треугольника $ABC$ пересекаются в точке $H$. Луч $BH$ пересекает окружность, описанную около треугольника $ABC$, в точке $P$. Найдите отношение радиусов окружностей, описанных около треугольников $AHP$ и $CHP$, если известно, что $BA_1:BC_1=3:4$, а $AH:CH=3:10$.
Ответ:
Решение:
Пусть $H$ — точка пересечения высот остроугольного треугольника $ABC$. Окружность, описанная около треугольника $ABH$, касается прямой $AC$. Найдите косинус угла $BCA$, если $AH=1$, $AB=3\sqrt{11}$.
Ответ:
Решение:
В треугольнике $ABC$ проведена медиана $BM$; $MD$ и $ME$ — биссектрисы треугольников $AMB$ и $CMB$ соответственно. Отрезки $BM$ и $DE$ пересекаются в точке $P$, причём $BP=2$, $MP=4$.
а) Найдите отрезок $DE$.
б) Пусть дополнительно известно, что около четырёхугольника $ADEC$ можно описать окружность. Найдите её радиус.
а) Найдите отрезок $DE$.
б) Пусть дополнительно известно, что около четырёхугольника $ADEC$ можно описать окружность. Найдите её радиус.
Ответ:
Решение:
Дан выпуклый четырёхугольник $ABCD$. Пусть $P$ — центр окружности, вписанной в треугольник $ABD$, а $Q$ — центр окружности, вписанной в треугольник $CBD$. Луч $BP$ пересекает сторону $DA$ в точке $M$, а луч $DQ$ пересекает сторону $BC$ в точке $N$. Оказалось, что $AM=\frac{9}{7}$, $DM=\frac{12}{7}$ и $BN=\frac{20}{9}$, $CN=\frac{25}{9}$.
а) Найдите отношение $AB:CD$.
б) Пусть дополнительно известно, что данные в условии окружности касаются. Найдите длины сторон $AB$ и $CD$.
а) Найдите отношение $AB:CD$.
б) Пусть дополнительно известно, что данные в условии окружности касаются. Найдите длины сторон $AB$ и $CD$.
Ответ:
Решение:
Остроугольный треугольник $ABC$ площади $80$ вписан в окружность с центром $O$, а $AA_1$, $BB_1$ и $CC_1$ — его высоты. Найдите площадь треугольника $BOA_1$, если площади треугольников $COB_1$ и $AOC_1$ равны $12$ и $20$ соответственно.
Ответ:
Решение:
На гипотенузе $BC$ прямоугольного треугольника $ABC$ выбраны точки $P$ и $Q$ так, что $AB=BP$, $AC=CQ$. Внутри треугольника $ABC$ выбрана точка $D$, для которой $DP=DQ$, а $\angle PDQ=90^\circ$. Найдите $\angle DBC$, если известно, что $\angle DCB=20^\circ$.
Ответ:
Решение: