Поиск задач
Ищите по условию, ответу и решению. Можно сузить поиск темой, сложностью и источником, а ввод одного числа — это поиск задачи по её номеру.
Найдено задач: 1597
Ваня загадал два натуральных числа, произведение которых равняется 7200. Какое наибольшее значение может принимать НОД этих чисел?
Ответ:
Решение:
Натуральные числа $a$, $b$ и $c$ таковы, что \[\text{НОД}(a,b)=2\quad\text{и}\quad\text{НОД}(b,c)=4.\] Чему может быть равен НОД$(a,c)$? Выберите все верные ответы:
a) 12;
b) 3;
c) 6;
d) 1;
e) 2.
a) 12;
b) 3;
c) 6;
d) 1;
e) 2.
Ответ:
Решение:
Сумма десяти натуральных чисел равна 1001. Какое наибольшее значение может принимать НОД (наибольший общий делитель) этих чисел?
Ответ:
Решение:
Найдите все такие пары натуральных чисел $a$ и $b$, что \[\text{НОК}(a,b)=\text{НОД}(a,b)+19\] (и докажите, что других нет).
$\text{НОД}(a,b)$ — это наибольший общий делитель, то есть наибольшее натуральное число, делящее и $a$, и $b$. $\text{НОК}(a,b)$ — это наименьшее общее кратное, то есть наименьшее натуральное число, кратное и $a$, и $b$.
$\text{НОД}(a,b)$ — это наибольший общий делитель, то есть наибольшее натуральное число, делящее и $a$, и $b$. $\text{НОК}(a,b)$ — это наименьшее общее кратное, то есть наименьшее натуральное число, кратное и $a$, и $b$.
Ответ:
Решение:
Пусть $N$ — наименьшее общее кратное десяти различных натуральных чисел \[a_1\lt a_2\lt a_3\lt \ldots\lt a_{10}.\]
1. Какое наименьшее значение может принимать $N/a_3$?
2. Укажите все возможные значения $a_3$ на отрезке $[1;1000]$, для которых величина $N/a_1$ может принимать своё наименьшее значение.
1. Какое наименьшее значение может принимать $N/a_3$?
2. Укажите все возможные значения $a_3$ на отрезке $[1;1000]$, для которых величина $N/a_1$ может принимать своё наименьшее значение.
Ответ:
Решение:
Для натурального числа $n$ обозначим через $S_n$ наименьшее общее кратное всех чисел $1, 2, \ldots, n$. Существует ли такое натуральное число $m$, что $S_{m+1}=4S_m$?
Ответ:
Решение:
В ряд выписали дроби $\dfrac{1}{1}, \dfrac{1}{2}, \dfrac{1}{3}, \ldots, \dfrac{1}{1000}$. Затем все эти дроби привели к общему знаменателю. У скольких из получившихся дробей числитель не делится на $77^2$?
Ответ:
Решение:
Известно, что клетчатый квадрат можно разрезать на $n$ одинаковых фигурок из $k$ клеток. Докажите, что его можно разрезать и на $k$ одинаковых фигурок из $n$ клеток.
Ответ:
Решение:
Петя выбрал 10 последовательных натуральных чисел и каждое записал либо красным, либо синим карандашом (оба цвета присутствуют). Может ли сумма наименьшего общего кратного всех красных чисел и наименьшего общего кратного всех синих чисел оканчиваться на 2016?
Ответ:
Решение:
Петя выбрал несколько последовательных натуральных чисел и каждое записал либо красным, либо синим карандашом (оба цвета присутствуют). Может ли сумма наименьшего общего кратного всех красных чисел и наименьшего общего кратного всех синих чисел являться степенью двойки?
Ответ:
Решение:
Дано натуральное число $n$. Натуральные числа $1, 2, \ldots, n$ выписывают на доске в строчку в некотором порядке. У каждых двух стоящих рядом чисел вычисляют их НОД (наибольший общий делитель) и записывают этот НОД на листке. Какое наибольшее количество различных чисел может быть среди всех $n-1$ выписанных на листке чисел?
Ответ:
Решение:
Саша выбрал натуральное число $N\gt 1$ и выписал в строчку в порядке возрастания все его натуральные делители: $d_1\lt \ldots\lt d_s$ (так что $d_1=1$ и $d_s=N$). Затем для каждой пары стоящих рядом чисел он вычислил их наибольший общий делитель; сумма полученных $s-1$ чисел оказалась равной $N-2$. Какие значения могло принимать $N$?
Ответ:
Решение:
Найдите все наборы натуральных чисел $x_1$, $x_2$, $\ldots$, $x_{20}$ такие, что \[ x_{i+2}^2=\text{НОК}(x_{i+1},x_i)+\text{НОК}(x_i,x_{i-1}) \] при $i=1, 2, \ldots, 20$, где $x_0=x_{20}$, $x_{21}=x_1$, $x_{22}=x_2$.
Ответ:
Решение:
Витя записал в тетрадь $n$ различных натуральных чисел. Для каждой пары чисел из тетради он выписал на доску их наименьшее общее кратное. Могло ли при каком-то $n\gt 100$ случиться так, что $\dfrac{n(n-1)}{2}$ чисел на доске являются (в некотором порядке) последовательными членами непостоянной арифметической прогрессии?
Ответ:
Решение:
Найдите все перестановки $(a_1, a_2, \ldots, a_{2021})$ чисел 1, 2, $\ldots$, 2021 такие, что при любых натуральных $m$, $n$, удовлетворяющих условию $|m-n|\gt 20^{21}$, выполняется неравенство: \[ \sum_{i=1}^{2021}\text{НОД}(m+i, n+a_i)\lt 2|m-n|. \] (Перестановка $(a_1, a_2, \ldots, a_{2021})$ — это последовательность, в которой каждое из чисел 1, 2, $\ldots$, 2021 встречается ровно по одному разу.)
Ответ:
Решение:
Найдите все натуральные $n$, для которых существует такое чётное натуральное $a$, что число \[ (a-1)(a^2-1)\ldots(a^n-1) \] является точным квадратом.
Ответ:
Решение:
Ответ:
Решение:
На числовой прямой закрашивают красным и синим цветом точки с целыми координатами по следующим правилам: а) точки, разность координат которых равна 7, должны быть покрашены одним цветом; б) точки с координатами 20 и 14 должны быть покрашены красным, а точки с координатами 71 и 143 — синим. Сколькими способами можно раскрасить все целые числа, соблюдая эти правила?
Ответ:
Решение:
В семиэтажном доме живут домовые. Лифт курсирует между первым и последним этажами, останавливаясь на каждом этаже. На каждом этаже, начиная с первого, в лифт заходил один домовой, но никто не выходил. Когда в лифт зашёл тысячный домовой, лифт остановился. На каком этаже это произошло? Ответ объясните.
Ответ:
Решение:
Существуют ли такие целые числа $p$ и $q$, что при любых целых значениях $x$ выражение $x^2+px+q$ кратно 3?
Ответ:
Решение: