Поиск задач
Ищите по условию, ответу и решению. Можно сузить поиск темой, сложностью и источником, а ввод одного числа — это поиск задачи по её номеру.
Найдено задач: 1118
В футбольном турнире, проходящем в один круг (каждая команда должна сыграть с каждой ровно по одному разу), играют 30 команд. В некоторый момент турнира тренер команды $A$ заметил, что любые две команды, отличные от $A$, сыграли разное количество игр. Какое наибольшее количество игр к этому моменту могла сыграть команда $A$?
Ответ:
Решение:
У Ольги есть конфеты $30$ сортов. Она хочет выложить конфеты по кругу так, чтобы для любых двух сортов нашлись рядом лежащие конфеты этих сортов. Какого наименьшего количества конфет ей для этого хватит?
Ответ:
Решение:
У Олега есть конфеты 32 сортов. Он хочет выложить конфеты в ряд так, чтобы для любых двух сортов нашлись рядом лежащие конфеты этих сортов. Какого наименьшего количества конфет ему для этого хватит?
Ответ:
Решение:
У Олега есть конфеты $16$ сортов. Он хочет выложить конфеты в ряд так, чтобы для любых двух различных сортов нашлись рядом лежащие конфеты этих сортов. Какого наименьшего количества конфет ему для этого хватит?
Ответ:
Решение:
Имеется палитра из нескольких различных оттенков цветов. Известно, что все оттенки из неё кроме сиреневого сочетаются с разными количеством других оттенков палитры (включая сиреневый), а сиреневый сочетается ровно $13$-ю. Какое наименьшее количество оттенков может быть в такой палитре?
Ответ:
Решение:
Двести школьников собирают наклейки, среди которых есть наклейки редких видов. Оказалось, что у каждого школьника есть наклейки ровно двух редких видов, и для каждого редкого вида наклеек найдётся школьник, у которого есть наклейка такого вида. Также известно, что каких бы $10$ школьников ни взять, найдётся редкий вид наклеек такой, что его нет ни у кого из этих $10$ школьников. При каком наименьшем количестве редких видов наклеек такая ситуация возможна?
Ответ:
Решение:
$20$ школьников записываются на кружки по физике, математике и информатике. Каждый школьник может записаться на любое количество из этих трёх кружков, но обязан выбрать хотя бы один из них. Известно, что на информатику записались $13$ школьников, на физику — $10$ школьников, а $9$ человек записались на математику. Оказалось, что ровно $9$ человек записались не менее чем на $2$ кружка сразу. Найдите количество учеников, выбравших все три кружка.
Ответ:
Решение:
На доске выписали в порядке возрастания все натуральные числа от $1$ до $10000$, а потом стёрли те, которые не делятся ни на $4$, ни на $15$. Какое число оказалось на $2017$-м месте?
Ответ:
Решение:
В большую коробку положили $10$ коробок поменьше. В некоторые из них положили $10$ коробок ещё поменьше. В некоторые из этих последних коробок положили $10$ коробок ещё меньшего размера и так далее. В результате оказалось, что имеется ровно $2000$ коробок, в которых что-то лежит. Какое наибольшее число коробок могут при этом быть пустыми?
Ответ:
Решение:
Сколько существует способов переставить местами буквы $abcabe$ так, чтобы никакие две одинаковые буквы не стояли рядом?
Ответ:
Решение:
Дано множество чисел $M=\{2024, 2025, \ldots, 2031\}$. Для каждого непустого подмножества множества $M$ (включая само множество $M$) вычислили сумму чисел, входящих в это подмножество, а затем все эти суммы сложили, получив число $S$. На какое двузначное число заканчивается $S$?
Ответ:
Решение:
Найдите количество пар таких натуральных чисел $a$ и $b$, что $a$ — трёхзначное, $b$ — четырёхзначное, а их произведение делится на $35$.
Ответ:
Решение:
Дан правильный $20$-угольник. Найдите количество четвёрок вершин этого $20$-угольника, являющихся вершинами выпуклых четырёхугольников, у которых есть хотя бы одна пара параллельных сторон.
Ответ:
Решение:
На плоскости с заданной прямоугольной декартовой системой координат нарисован квадрат с вершинами в точках $(0;0)$, $(0;59)$, $(59;59)$ и $(59;0)$. Найдите количество способов выбрать два узла сетки внутри этого квадрата (не включая его границу) так, чтобы хотя бы один из этих узлов лежал на одной из прямых $y=x$ или $y=59-x$, но оба выбранных узла не лежали ни на какой прямой, параллельной любой из координатных осей.
Ответ:
Решение:
$5$ сундуков закрыты на $3$ замка каждый, все ключи ко всем замкам различны. Найдите количество способов выбрать из всех $15$ ключей $6$ так, чтобы с помощью них можно было открыть хотя бы один сундук.
Ответ:
Решение:
Найдите количество пар таких натуральных чисел $a$ и $b$, что $a$ — трёхзначное, $b$ — четырёхзначное, в своей записи они не содержат нулевых цифр, а их произведение делится на $15$.
Ответ:
Решение:
Найдите количество пар целых чисел $(a,b)$ таких, что $1\leqslant a\leqslant 700$, $1\leqslant b\leqslant 700$, сумма $a+b$ делится на $7$, а произведение $ab$ делится на $5$. (При $a\neq b$ пары $(a,b)$ и $(b,a)$ считаются различными.)
Ответ:
Решение:
Дан правильный $18$-угольник. Найдите количество троек его вершин, являющихся вершинами треугольника, в котором хотя бы один угол равен $40^\circ$. (Две тройки вершин, отличающиеся порядком вершин, считаются одинаковыми.)
Ответ:
Решение:
Дан правильный $16$-угольник. Найдите количество четвёрок его вершин, являющихся вершинами выпуклого четырёхугольника, в котором хотя бы один угол равен $90^\circ$. (Две четвёрки вершин, отличающиеся порядком вершин, считаются одинаковыми.)
Ответ:
Решение:
Дан клетчатый прямоугольник $100\times 400$. Сколькими способами можно закрасить 8 клеток этого прямоугольника так, чтобы закрашенное множество обладало хотя бы одной из следующих симметрий: относительно центра прямоугольника, относительно любой из двух «средних линий» прямоугольника («средней линией» прямоугольника назовём отрезок, соединяющий середины двух его противоположных сторон). Ответ дайте в виде выражения, содержащего не более трёх членов (в них могут входить факториалы, биномиальные коэффициенты).
Ответ:
Решение: