Олимпиада «Физтех»
10 класс, отборочный этап 2012/13 уч. г.
20 задач
Задача 2
В семье Ивановых четыре человека. Если Маше удвоят стипендию, то общий доход семьи возрастёт на $10\%$. Если маме удвоят зарплату, то общий доход возрастёт на $35\%$. Если папе удвоят зарплату, то общий доход возрастёт на $40\%$. На сколько процентов возрастёт доход семьи, если дедушке удвоят пенсию?
Ответ:
Решение:
Задача 3
также:
Физтех, 11 класс, отборочный этап 2012/13 уч. г., задача 2
Пусть $x_1$ и $x_2$ — корни уравнения $2x^2-7x+1=0$. Известно, что уравнение $x^2+px+q=0$ имеет корни $x_1/x_2^2$ и $x_2/x_1^2$. Найдите $p$.
Ответ:
Решение:
Задача 4
также:
Физтех, 9 класс, отборочный этап 2012/13 уч. г., задача 7; Физтех, 11 класс, отборочный этап 2012/13 уч. г., задача 3
Найдите количество целых значений параметра $p$, при которых график функции \[ y=x^2+px+p^2+2p-3 \] пересекает ось $X$ в точках с абсциссами разных знаков.
Ответ:
Решение:
Задача 5
также:
Физтех, 9 класс, отборочный этап 2012/13 уч. г., задача 10
Даны положительные рациональные числа $a$, $b$ и $c$. Известно, что число $b$ больше числа $a$ на $k$, а число $c$ больше числа $b$ на $69$; при этом число $b$ больше числа $a$ на $69\%$, а число $c$ больше числа $b$ на $k\%$. Чему равно $c$?
Ответ:
Решение:
Задача 6
также:
Физтех, 9 класс, отборочный этап 2012/13 уч. г., задача 11
Задача 7
также:
Физтех, 9 класс, отборочный этап 2012/13 уч. г., задача 12; Физтех, 11 класс, отборочный этап 2012/13 уч. г., задача 5
Сколько пар натуральных чисел $(x,y)$ удовлетворяют равенству \[ \text{НОД}(x,y)+\text{НОК}(x,y)=2011\ ? \]
Ответ:
Решение:
Задача 8
также:
Физтех, 9 класс, отборочный этап 2012/13 уч. г., задача 15
Отрезок $BD$ — медиана равнобедренного треугольника $ABC$. Окружность радиуса $4$ проходит через точки $A$, $B$ и $D$ и пересекает сторону $BC$ в точке $E$ такой, что $BE:BC=7:8$. Найдите периметр треугольника $ABC$.
Ответ:
Решение:
Задача 9
также:
Физтех, 11 класс, отборочный этап 2012/13 уч. г., задача 7
Числа $x$, $7$, $y$ (в указанном порядке) образуют геометрическую прогрессию. Числа $x$, $10$, $y$ (в указанном порядке) образуют арифметическую прогрессию. Найдите $x^2+y^2$.
Ответ:
Решение:
Задача 10
также:
Физтех, 9 класс, отборочный этап 2012/13 уч. г., задача 16
Вершины $1000$-угольника последовательно занумеровали числами от $1$ до $1000$ и принялись закрашивать каждую $15$-ю вершину: сначала первую, потом $16$-ю, потом $31$-ю и так далее. Процесс продолжается до тех пор, пока можно закрашивать новые вершины. Сколько вершин останутся в итоге незакрашенными?
Ответ:
Решение:
Задача 11
также:
Физтех, 9 класс, отборочный этап 2012/13 уч. г., задача 17; Физтех, 11 класс, отборочный этап 2012/13 уч. г., задача 8
В озере плавает груша массой $500$ г, причём $1/5$ часть её находится над водой. Сверху грушу принимается клевать воробей со скоростью $120$ г/мин, а снизу её одновременно начинает поедать карась со скоростью $180$ г/мин. В итоге они съедают всю грушу. Сколько грамм груши съест карась?
Ответ:
Решение:
Задача 12
также:
Физтех, 11 класс, отборочный этап 2012/13 уч. г., задача 10
Ответ:
Решение:
Задача 13
также:
Физтех, 11 класс, отборочный этап 2012/13 уч. г., задача 12
Задача 14
также:
Физтех, 11 класс, отборочный этап 2012/13 уч. г., задача 14
В параллелограмме $ABCD$ известно, что угол между диагоналями $AC$ и $BD$ равен $60^\circ$ и $AC:BD=3:2$. На сторонах параллелограмма взяли последовательно точки $K$, $L$, $M$ и $N$ так, что $KLMN$ — ромб, стороны которого параллельны диагоналям параллелограмма. Найдите отношение площади ромба $KLMN$ к площади параллелограмма $ABCD$.
Ответ:
Решение:
Задача 15
также:
Физтех, 9 класс, отборочный этап 2012/13 уч. г., задача 18; Физтех, 11 класс, отборочный этап 2012/13 уч. г., задача 15
В большую коробку положили $10$ коробок поменьше. В некоторые из них положили $10$ коробок ещё поменьше. В некоторые из этих последних коробок положили $10$ коробок ещё меньшего размера и так далее. В результате оказалось, что имеется ровно $2000$ коробок, в которых что-то лежит. Какое наибольшее число коробок могут при этом быть пустыми?
Ответ:
Решение:
Задача 16
также:
Физтех, 9 класс, отборочный этап 2012/13 уч. г., задача 19; Физтех, 11 класс, отборочный этап 2012/13 уч. г., задача 16
Имеется желоб, по которому в обе стороны могут кататься одинаковые шарики с фиксированной скоростью. Если два шарика соударяются, каждый из них меняет направление своего движения на противоположное. С одного конца желоба двигаются пять шариков на равных расстояниях друг от друга, с другого конца — семь шариков (тоже на равных расстояниях друг от друга). Сколько всего будет соударений?
Ответ:
Решение:
Задача 17
Боковая сторона $AB$ трапеции $ABCD$ равна $10$, а меньшее основание $BC$ равно $5$. Биссектриса угла $A$ перпендикулярна отрезку $CD$, пересекает его в точке $K$ и пересекает продолжение стороны $BC$ за точку $C$ в точке $F$. Найдите площадь трапеции $ABCD$, если $KF=4$.
Ответ:
Решение:
Задача 18
также:
Физтех, 11 класс, отборочный этап 2012/13 уч. г., задача 18
Сумма первых трёх членов геометрической прогрессии равна $19$, а сумма их квадратов равна $741$. Какое наибольшее значение может принимать сумма их кубов?
Ответ:
Решение:
Задача 19
также:
Физтех, 11 класс, отборочный этап 2012/13 уч. г., задача 19
На обед есть борщ, плов и торт. Мама может съесть весь борщ за $13$ минут, весь плов — за $10$ минут, а весь торт — за $20$ минут. Вовочка кушает гораздо быстрее: весь борщ он может съесть за $6$ минут, весь плов — за $8$ минут, весь торт — за $10$ минут. Вовочка распределил продукты между собой и мамой так, чтобы обед закончился за наименьшее время. Сколько минут они обедали?
Ответ:
Решение:
Задача 20
также:
Физтех, 11 класс, отборочный этап 2012/13 уч. г., задача 20
Тест по английскому языку сдавали $10$ школьников. Известно, что любые пять школьников ответили вместе на все вопросы, а любые четыре школьника ответили вместе не на все вопросы. При каком наименьшем количестве вопросов теста такое могло случиться?
Ответ:
Решение: