Доказать неравенство (на естественной области определения): $$x \cdot \ln x^2 \geqslant 2 - 2e^{1-x}$$
Ответ:
Решение:
Доказать неравенство (на естественной области определения): $$\sqrt{3-x}+\sqrt{x+1} \leqslant 1+2\sqrt2-\sin\left(\frac{\pi x}{2}\right)$$
Ответ:
Решение:
а) Доказать неравенство (на естественной области определения): $\displaystyle \frac{\ln(x-1)}{\ln(x+1)} \leqslant \frac{x-2}{\ln 3}$.
б) Доказать неравенство для всех $x > 1$: $\displaystyle \frac{\ln(x-1)}{\ln(x+1)} \leqslant \frac{x-2}{\ln (x+1)}$.
б) Доказать неравенство для всех $x > 1$: $\displaystyle \frac{\ln(x-1)}{\ln(x+1)} \leqslant \frac{x-2}{\ln (x+1)}$.
Ответ:
Решение:
Ответ:
Решение:
Методами математического анализа доказать неравенство (на естественной области определения): $$\sqrt{4x+7-2x^2}\leqslant\sqrt{x^4-4x^3+6x^2-4x+10}.$$ Указать значение $x$, при котором неравенство обращается в равенство.
Ответ:
Решение:
Методами математического анализа доказать неравенство: $$3\cos\left(\frac{\pi\,x}{2}\right)\leqslant\sqrt{x^2-8x+25}$$ Указать значение $x$, при котором неравенство обращается в равенство.
Ответ:
Решение:
Исследовать функцию и построить её график: $\displaystyle y=f(x)=\frac12(x^2+4x)+4\ln(3-x)$. При исследовании обратите внимание на область определения функции и $\displaystyle \lim_{x\to3-0}f(x)$.
Ответ:
Решение:
Найти нули производной функции $$\displaystyle f(x)=\frac{4^x-24\cdot2^x}{\ln4}+32x$$ и исследовать функцию на монотонность.
Ответ:
Решение:
Ответ:
Решение:
Найти первообразную функции $y=6\sin2x+192x^2$, проходящую через точку $\displaystyle\left(\frac{\pi}{4};~0\right)$.
Ответ:
Решение:
Найти первообразную функции $\displaystyle y=\frac{2x^3+8x+1}{x^2+4}$, проходящую через точку $(2;~4)$.
Ответ:
Решение:
Найти первообразную функции $\displaystyle\frac{\ln4(16^x-1)}{4^x}$, проходящую через точку $\displaystyle\left(1,~\frac14\right)$.
Ответ:
Решение:
Найти интеграл: $\displaystyle\int\frac{\sin\dfrac{5x}{2}-\sin\dfrac{3x}{2}+2\sin\dfrac{x}{2}}{4\cos\dfrac{x}{2}}\,dx$
Ответ:
Решение:
Ответ:
Решение:
Найти интеграл: $\displaystyle\int \frac{2x^4 - 2x^3 + 2x^2 - 6x + 4}{x^5 - 4x^4 + 6x^3 - 4x^2}\,dx$.
Ответ:
Решение: