Вероятность и комбинаторика

В квадрате $[-2;~2] \times [-2;~2]$ выбирается случайная точка $(x,~y)$. Вычислить вероятности:
а) $P\{x^2+y^2-4x\geqslant0\}$;
б) $\displaystyle P\left\{\frac{x}{4}-\frac32 \leqslant y \leqslant 4x+6 \right\}$;
в) $P\left\{|x|+|y-1| \leqslant 1 \right\}$.

В квадрате $[0;~2] \times [0;~2]$ выбирается случайная точка $(x,~y)$. Вычислить вероятности:
а) $P\{x^2+y^2-2x\geqslant0\}$;
б) $\displaystyle P\left\{\frac{x}{2} \leqslant y \leqslant 2x \right\}$;
в) $\displaystyle P\left\{|x-1|+|y-1| \leqslant \frac12 \right\}$.

Составляется квадратное уравнение вида $a^2x^2+bx+1=0$, в котором коэффициенты $a$ и $b$ выбираются случайным образом: $-6 \leqslant a \leqslant 6$, $-4 \leqslant b \leqslant 4$. Найти вероятность того, что это уравнение имеет действительные корни.

Составляется квадратное уравнение вида $a^2x^2+bx+1=0$, в котором коэффициенты $a$ и $b$ выбираются случайным образом: $-4 \leqslant a \leqslant 4$, $-6 \leqslant b \leqslant 6$. Найти вероятность того, что это уравнение имеет действительные корни.

Рассматриваются всевозможные прямоугольники, вписанные в полуокружность радиуса $R=5$ так, что две вершины прямоугольника лежат на её диаметре, а две другие — на дуге полуокружности. Найти вероятность того, что площадь такого прямоугольника окажется больше чем 24.

Рассматриваются всевозможные прямоугольники, вписанные в полуокружность радиуса $R=10$ так, что две вершины прямоугольника лежат на её диаметре, а две другие — на дуге полуокружности. Найти вероятность того, что площадь такого прямоугольника окажется меньше чем 96.

Помещение освещается двумя одинаковыми лампочками. Вероятность того, что в течение года лампочка перегорит равна $0,4$. Составить ряд распределения и найти математическое ожидание случайной величины $X$ — количество лампочек, перегоревших в течение года.

Помещение освещается двумя одинаковыми лампочками. Вероятность того, что в течение года лампочка перегорит равна $0,6$. Составить ряд распределения и найти математическое ожидание случайной величины $X$ — количество лампочек, перегоревших в течение года.

Участник викторины последовательно отвечает на три вопроса, при этом он выбывает из игры, если при ответе на очередной вопрос дал неправильный ответ, но набранные к тому времени очки сохраняются. Вероятность дать правильный ответ на первый вопрос равна $0{,}9$, на второй — $0{,}7$, на третий — $0{,}3$. За правильный ответ на первый вопрос участник викторины получает 50 очков, за правильный ответ на второй вопрос — 100, за третий — 150 очков. Случайная величина $X$ — общее количество очков, набранное участником викторины (0, 50, 150 или 300 очков). Составить ряд распределения и найти математическое ожидание такой случайной величины.

На билете мгновенной лотереи десять скрытых под скретч-слоем окошек. На каждом билете достоверно имеются три окошка, содержащие одинаковый денежный приз (по 100 рублей), а остальные семь окошек без выигрыша. Игрок должен стереть защитный скретч-слой ровно с трёх окошек, в противном случае билет считается недействительным, и оплата выигрыша по нему организатором лотереи не производится. Случайная величина $X$ — общий выигрыш, полученный игроком (0, 100, 200 либо 300 рублей). Составить ряд распределения и найти математическое ожидание такой случайной величины. Какова должна быть минимальная стоимость такого лотерейного билета (с точки зрения выгоды организатора)?

В классе 12 мальчиков и 13 девочек. Из них случайным образом выбирают пятерых для представительства в школьном ученическом совете. Составить ряд распределения и найти математическое ожидание случайной величины $X$ — количество девочек, выбранных в ученический совет от этого класса.

На кафедре математики работают 10 преподавателей без учёной степени, 10 кандидатов наук и 5 докторов наук. Из них случайным образом выбирают пятерых для отправки на конференцию. Составить ряд распределения и найти математическое ожидание случайной величины $X$ — количество докторов наук, отправившихся на конференцию.

Ваня решил коллекционировать крокодилов из «киндер-сюпризов», и пока в его коллекции нет ни одного крокодила. В магазине на полке лежат 5 шоколадных яиц, в каждом из которых с вероятностью $0,2$ может находиться крокодил. Составить ряд распределения и найти математическое ожидание случайной величины $X$ — количество «киндер-сюпризов», которые придётся купить для пополнения коллекции.

Маша решила коллекционировать бегемотов из «киндер-сюпризов», и пока в её коллекции нет ни одного бегемота. В магазине на полке лежат 5 шоколадных яиц, в каждом из которых с вероятностью $0,1$ может находиться бегемот. Составить ряд распределения и найти математическое ожидание случайной величины $X$ — количество «киндер-сюпризов», которые придётся купить для пополнения коллекции.

Пять мальчиков и пять девочек случайным образом рассаживаются за круглым столом. Будем называть мальчика счастливым, если рядом с ним сидит хотя бы одна девочка. Найти математическое ожидание случайной величины $X$ — количество счастливых мальчиков.

Пять мальчиков и пять девочек случайным образом рассаживаются за круглым столом. Будем называть мальчика счастливым, если рядом с ним сидят две девочки. Найти математическое ожидание случайной величины $X$ — количество счастливых мальчиков.

В магазине представлено неограниченное количество шоколадных яиц, в каждом из которых с вероятностью $0{,}2$ может находиться один из пяти крокодилов. Ваня хочет собрать всю коллекцию крокодилов. Найти математическое ожидание случайной величины $X$ — количество «киндер-сюпризов», которые придётся купить для завершения коллекции.

В магазине представлено неограниченное количество шоколадных яиц, в каждом из которых с вероятностью $0{,}1$ может находиться один из десяти бегемотов. Маша хочет собрать всю коллекцию бегемотов. Найти математическое ожидание случайной величины $X$ — количество «киндер-сюпризов», которые придётся купить для завершения коллекции.

Автомат делает не более трёх попыток отправить сообщение, вероятность успешной передачи сообщения при каждой очередной попытке равна $0{,}9$. Случайная величина $X$ — количество попыток, предпринятых автоматом. Составить ряд распределения случайной величины $X$ и вычислить её математическое ожидание.
Указание. Автомат сделает одну, две либо три попытки. В случае, если было сделано три попытки, последняя может быть как успешной, так и не успешной.

Автомат делает не более четырёх попыток отправить сообщение, вероятность успешной передачи сообщения при каждой очередной попытке равна $0{,}8$. Случайная величина $X$ — количество попыток, предпринятых автоматом. Составить ряд распределения случайной величины $X$ и вычислить её математическое ожидание.
Указание. Автомат сделает одну, две, три либо четыре попытки. В случае, если было сделано четыре попытки, последняя может быть как успешной, так и не успешной.