Вероятность и комбинаторика

У стрелка есть три патрона, он пытается попасть в мишень, стреляя до первого попадания. Вероятность попадания при каждом очередном выстреле равна $0{,}7$. Составить ряд распределения и найти математическое ожидание случайной величины $X$ — количество использованных стрелком патронов.

У стрелка есть четыре патрона, он пытается попасть в мишень, стреляя до первого попадания. Вероятность попадания при каждом очередном выстреле равна $0{,}9$. Составить ряд распределения и найти математическое ожидание случайной величины $X$ — количество использованных стрелком патронов.

Стрелок стреляет по пяти одинаковым мишеням. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна $0{,}6$. Найти вероятность того, что:
а) стрелок не попадёт ни в одну мишень,
б) стрелок попадёт ровно в 3 мишени,
в) стрелок попадёт не менее чем в 3 мишени,
г) стрелок попадёт во все пять мишеней.

Стрелок стреляет по пяти одинаковым мишеням. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна $0{,}7$. Найти вероятность того, что:
а) стрелок не попадёт ни в одну мишень,
б) стрелок попадёт ровно в 2 мишени,
в) стрелок попадёт не более чем в 2 мишени,
г) стрелок попадёт во все пять мишеней.

Применив метод математической индукции, доказать, что при любом $n \in \mathbb{N}$ верно, что $$1^3+2^3+\ldots+n^3=\frac{n^2(n+1)^2}{4}.$$

Применив метод математической индукции, доказать, что при любом $n \in \mathbb{N}$ верно, что $$\frac{1}{1\cdot3}+\frac{1}{3\cdot5}+\ldots+\frac{1}{(2n-1)(2n+1)}=\frac{n}{2n+1}.$$

Применив метод математической индукции, доказать, что при любом $n \in \mathbb{N}$ верно, что $$\frac{1}{1\cdot5}+\frac{1}{5\cdot9}+\ldots+\frac{1}{(4n-3)(4n+1)}=\frac{n}{4n+1}.$$

Применив метод математической индукции, доказать, что при любом $n \in \mathbb{N}$ верно, что $$1\cdot4+2\cdot7+3\cdot10+\ldots+n(3n+1)=n(n+1)^2.$$

Применив метод математической индукции, доказать, что $n^3+11n$ делится на 6 при любом $n \in \mathbb{N}$.

Применив метод математической индукции, доказать, что сумма кубов трёх последовательных натуральных чисел делится на 9.

В тесте 10 вопросов, в каждом вопросе 4 варианта ответа, только один из которых правильный. Вовочка решил проверить свою интуицию и в каждом вопросе выбирает вариант ответа наугад. За тест выставляется отметка «5», если дано не менее девяти правильных ответов; отметка «4», если дано не менее семи правильных ответов; отметка «3» за пять или шесть правильных ответов и отметка «2» при менее пяти правильных ответов. Случайная величина $X$ — отметка, которую получит Вовочка. Составить ряд распределения такой случайной величины и найти её математическое ожидание.

В тесте 10 вопросов, в каждом вопросе 4 варианта ответа, только один из которых правильный. Вовочка решил проверить свою интуицию и в каждом вопросе выбирает вариант ответа наугад. За тест выставляется отметка «5», если дано не менее восьми правильных ответов; отметка «4», если дано не менее шести правильных ответов; отметка «3» за четыре или пять правильных ответов и отметка «2» при менее четырёх правильных ответов. Случайная величина $X$ — отметка, которую получит Вовочка. Составить ряд распределения такой случайной величины и найти её математическое ожидание.

Петя и Коля играют в увлекательную игру: разыгрывая очередной тур игры, каждый по очереди бросает шестигранный игральный кубик. Если у Пети количество очков окажется не меньше, чем у Коли, то он выплачивает Коле 100 рублей, а если меньше — то Коля отдаёт Пете 100 рублей. Петя и Коля намерены разыграть 3 тура такой игры. Составить ряд распределения и найти математическое ожидание случайной величины $X$ — общая сумма выигрыша Пети (возможные значения: $-300$, $-100$, $100$, $300$).

Петя и Коля играют в увлекательную игру: разыгрывая очередной тур игры, каждый по очереди бросает шестигранный игральный кубик. Если у Пети количество очков окажется не меньше, чем у Коли, то он выплачивает Коле 100 рублей, а если меньше — то Коля отдаёт Пете 100 рублей. Петя и Коля намерены разыграть 4 тура такой игры. Составить ряд распределения и найти математическое ожидание случайной величины $X$ — общая сумма выигрыша Пети (возможные значения: $-400$, $-200$, $0$, $200$, $400$).

Два стрелка, каждому из которых дали по 15 патронов, стреляют по мишени. Для первого стрелка вероятность попадания при одном выстреле равна $0{,}8$, а для второго — $0{,}6$. Найти математическое ожидание случайной величины $X$ — общее количество попаданий в мишень.

Два стрелка, каждому из которых дали по 12 патронов, стреляют по мишени. Для первого стрелка вероятность попадания при одном выстреле равна $0{,}9$, а для второго — $0{,}7$. Найти математическое ожидание случайной величины $X$ — общее количество попаданий в мишень.

В экзаменационном билете три вопроса. Вероятность правильно ответить на первый из них равна $0{,}9$, на второй — $0{,}7$, на третий — $0{,}3$. Учащийся получает отметку «3», если правильно ответил ровно на один вопрос (любой), отметку «4» при двух правильных ответах и «5», если правильно ответил на все три вопроса. Если учащийся не ответил ни на один вопрос, он получает отметку «2».
а) Найти вероятность получения отметки «3».
б) Составить ряд распределения случайной величины $X$ — полученная отметка. Найти её математическое ожидание.
в) Учащийся получил отметку «4». Какова вероятность, что он не справился именно с первым вопросом?

В экзаменационном билете три вопроса. Вероятность правильно ответить на первый из них равна $0{,}8$, на второй — $0{,}6$, на третий — $0{,}4$. Учащийся получает отметку «3», если правильно ответил ровно на один вопрос (любой), отметку «4» при двух правильных ответах и «5», если правильно ответил на все три вопроса. Если учащийся не ответил ни на один вопрос, он получает отметку «2».
а) Найти вероятность получения отметки «4».
б) Составить ряд распределения случайной величины $X$ — полученная отметка. Найти её математическое ожидание.
в) Учащийся получил отметку «3». Какова вероятность, что он ответил правильно именно на первый вопрос?

В корзине лежат 7 белых и 8 черных шаров. Из корзины наугад достают четыре шара. Случайная величина $X$ — количество белых шаров среди тех, которые достали. Составить ряд распределения и найти математическое ожидание такой случайной величины.

В корзине лежат 10 белых и 5 черных шаров. Из корзины наугад достают четыре шара. Случайная величина $X$ — количество черных шаров среди тех, которые достали. Составить ряд распределения и найти математическое ожидание такой случайной величины.