Теоремы о вероятностях событий

В урне $a$ белых и $b$ чёрных шаров. Из урны в случайном порядке, один за другим, вынимают все находящиеся в ней шары. Найти вероятность того, что вторым по порядку будет вынут белый шар.

{В урне 5 белых, 7 черных и 10 красных шаров. Три из них вынимаются наугад. Найти вероятность того, что по крайней мере два из них будет одного цвета.

В урне $a$ белых и $b$ чёрных шаров. Два игрока поочередно вынимают из урны по одному шару, каждый раз вкладывая его обратно и перемешивая шары. Выигравшим считается тот, кто раньше вынет белый шар. Найти вероятность того, что выигает первый игрок (тот, кто вынимал шар первым).

В урне два белых и три чёрных шара. Два игрока поочередно вынимают из урны по шару, не вкладывая их обратно. Выигрывает тот, кто раньше получит белый шар. Найти вероятность того, что выиграет первый игрок.

Два стрелка, независимо один от другого, делают по два выстрела (каждый по своей мишени). Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для первого стрелка $p_1$, для второго — $p_2$. Выигравшим соревнование считается тот стрелок, в мишени которого будет больше пробоин. Найти вероятность того, что выиграет первый стрелок.

33 буквы русского алфавита написаны на карточках разрезной азбуки. Пять карточек вынимаются наугад одна за другой. Найти вероятность того, что из вынутых карточек можно (при необходимости меняя их местами произвольным образом) составить слово «экзамен».

Из полной колоды карт (52 карты) вынимают сразу 9 карт; одну из них смотрят, она оказывается тузом, после чего её смешивают с остальными вынутыми. Найти вероятность того, что при втором вынимании из этих девяти мы снова получим туз (то есть ту же карту или туз другой масти).

Монета бросается либо до выпадения орла, либо до троекратного выпадения решки. При условии, что результатом первого бросания была решка, найти вероятность того, что монета будет брошена три раза.

Имеются две урны: в первой 7 белых и 5 чёрных шаров, во второй — 10 белых и 3 чёрных. Из первой урны во вторую перекладывают (не глядя) один шар. После этого из второй урны берут один шар. Найти вероятность того, что этот шар будет белым.

Из чисел $1,~2,~\ldots,~n$ одно за другим выбирают наугад два числа. Какова вероятность того, что разность между первым выбранным числом и вторым будет не меньше $m$ ($m>0$).

В классе из 25 человек шестеро отличников, 15 хорошо успевающих (хорошисты) и четверо, успевающих слабо (троечники). На предстоящей контрольной отличники получат только «пятёрки», хорошисты — с равной вероятностью могут получить отличные или хорошие отметки, а троечники могут с равной вероятностью получить хорошие, удовлетворительные или неудовлетворительные отметки. Найти вероятность того, что работа наугад выбранного школьника окажется написанной на хорошую или отличную отметку.

Три орудия производят стрельбу по трём целям. Каждое орудие выбирает себе цель случайным образом и независимо от других. Цель, обстрелянная одним орудием, поражается с вероятностью $p$. Найти вероятность того, что из трёх целей две будет поражены, а третья нет.

Имеются три урны: в первой 5 белых и 3 чёрных шара, во второй 7 белых и 5 черных, в третьей 4 белых и ни одного черного. Некто выбирает наугад урну, а затем вынимает из неё шар. Этот шар оказался белым. Какова вероятность того, что этот шар был вынут из второй урны?

В экзаменационном билете по предмету «Анатомия человека» три вопроса по разным темам: «Дыхательная система», «Пищеварительная система» и «Репродуктивная система». Студентка медвуза, готовясь к экзамену, выучила 10 из 25 вопросов по дыхательной системе, 15 из 25 вопросов по пищеварительной системе, и давным-давно досконально изучила третью тему. Чтобы сдать экзамен, необходимо ответить по крайней мере на два вопроса из трёх. Найти вероятность того, что студентка сдаст экзамен.

В экзаменационном билете по предмету «Органическая химия» три вопроса по разным темам: «Жиры», «Углеводы» и «Спирты». Студент техникума, готовясь к экзамену, выучил 10 из 30 вопросов по жирам, 20 из 30 вопросов по углеводам, и давным-давно полностью освоил третью тему. Чтобы сдать экзамен, необходимо ответить по крайней мере на два вопроса из трёх. Найти вероятность того, что студент сдаст экзамен.

Вероятность того, что двигатель автомобиля «ЗАЗ-965А» заведётся при очередной попытке, равна $0{,}3$. Какова вероятность того, что двигатель заведётся:
а) не более чем со второй попытки;
б) не более чем с третьей попытки?

Вероятность поразить движущуюся цель с первого выстрела равна $0{,}3$, при каждом следующем выстреле — $0{,}8$. Найти вероятность того, что цель будет поражена:
а) ровно с четвёртой попытки;
б) не более чем с четвёртой попытки.

В корзине 3 белых шарика, 5 синих и 4 красных. Из корзины последовательно, один за другим, без возвращения, достают три шарика. Найти вероятность того, что:
а) все три шарика — белые;
б) среди этих трёх шариков нет синего;
в) ровно один из трёх шариков белый, остальные не белые;
г) все три шарика разных цветов.

В корзине 4 белых шарика, 3 синих и 5 красных. Из корзины последовательно, один за другим, без возвращения, достают три шарика. Найти вероятность того, что:
а) все три шарика — красные;
б) среди этих трёх шариков нет красного;
в) ровно один из трёх шариков красный, остальные не красные;
г) все три шарика одного цвета.

Из колоды карт (52 карты — четыре масти по 13 карт) достают четыре карты. Найти вероятность того, что все четыре карты разных мастей, если:
а) карты достают последовательно, одна за другой, без возвращения;
б) карты достают с возвращением.