Поиск задач
Ищите по условию, ответу и решению. Можно сузить поиск темой, сложностью и источником, а ввод одного числа — это поиск задачи по её номеру.
Найдено задач: 561
Найдите все значения $a$, при каждом из которых для любого значения $b$ система \[\begin{cases}(x+1)^2+|y-1|=2,\\ y=b|2x+1|+a\end{cases}\] имеет решения.
Ответ:
Решение:
Найдите все значения $y$, при каждом из которых ни одно значение $x$, удовлетворяющее неравенству \[ \log_2(|x|+|y|)\leqslant 2, \] не удовлетворяет неравенству \[ \log_{\frac12}(|x|+|y+4|)\geqslant -2. \]
Ответ:
Решение:
Найти все значения $a$, при каждом из которых система \[\begin{cases}|y|+|y-x|\leqslant a-|x-1|,\\ (y-4)(y+3)\geqslant(4-x)(3+x)\end{cases}\] имеет ровно два решения.
Ответ:
Решение:
Найдите все значения $a$, при каждом из которых система \[ \begin{cases} 1-\sqrt{|x-1|}=\sqrt{3|y|}, \\ x^2+9y^2+a=2x-1 \end{cases} \] имеет ровно четыре различных решения.
Ответ:
Решение:
Высота, проведённая к гипотенузе прямоугольного треугольника, делит гипотенузу на два отрезка, один из которых равен 16. Найдите длину второго отрезка, если радиус вписанной в этот треугольник окружности равен 5.
Ответ:
Решение:
Окружность радиуса 2 проходит через вершину $B$ треугольника $ABC$, через середину стороны $AB$ и через середину отрезка $BP$, где $P$ — точка пересечения биссектрисы угла $ABC$ и серединного перпендикуляра к стороне $AC$. Найдите длину $AC$, если известно, что $PC=2\sqrt{3}$.
Ответ:
Решение:
В треугольник $ABC$ вписана окружность с центром $O$, к которой проведена касательная, пересекающая стороны $AC$ и $AB$ в точках $M$ и $N$ соответственно. Найдите угол $A$ треугольника $ABC$, если $\angle MON=26^\circ$.
Ответ:
Решение:
Треугольники $A_1B_1C_1$, $A_2B_2C_2$, $\ldots$, $A_{2012}B_{2012}C_{2012}$ таковы, что вершинами треугольника $A_{n+1}B_{n+1}C_{n+1}$ являются точки касания сторон треугольника $A_nB_nC_n$ и вписанной в этот треугольник окружности ($n=1,2,\ldots,2011$). Найдите углы треугольника $A_1B_1C_1$, если известно, что наибольший угол этого треугольника равен одному из углов треугольника $A_{2012}B_{2012}C_{2012}$.
Ответ:
Решение:
В треугольник $ABC$, в котором сумма сторон $AB$ и $BC$ в $9/5$ раз больше стороны $AB$, вписана окружность, касающаяся сторон $BC$, $AC$ и $AB$ в точках $M$, $N$ и $K$ соответственно. Отношение площади треугольника $MNC$ к площади треугольника $ABC$ равно $r$. Найдите при данных условиях:
а) наименьшее значение $r$;
б) все возможные значения $r$.
а) наименьшее значение $r$;
б) все возможные значения $r$.
Ответ:
Решение:
В треугольнике $ABC$ известны стороны $AB=5$ и $AC=6$. Какой должна быть сторона $BC$, чтобы угол $ACB$ был максимально возможным?
Ответ:
Решение:
В выпуклом $2024$-угольнике длины всех диагоналей не превосходят $1$. Какое наибольшее количество сторон длины $1$ может быть в этом $2024$-угольнике?
Напомним, что выпуклым называется многоугольник, все точки которого лежат по одну сторону от любой прямой, проходящей через две его соседние вершины.
Напомним, что выпуклым называется многоугольник, все точки которого лежат по одну сторону от любой прямой, проходящей через две его соседние вершины.
Ответ:
Решение:
В окружности диаметр $AB$ и хорда $PQ$ пересекаются в точке $C$ под прямым углом. Найдите длины биссектрис треугольника $APQ$, если $PC=5$, $AC:CB=8$.
Ответ:
Решение:
Точка $B$ лежит на отрезке $AC$ так, что $AB=3$, $BC=4$. На отрезках $AB$ и $BC$ по одну сторону от прямой $AC$ построены квадраты. Окружности, описанные вокруг этих квадратов, пересекаются в точке $D$, отличной от $B$. Найдите площадь треугольника $ACD$.
Ответ:
Решение:
Окружность с центром в точке $O$, лежащей на стороне $AB$ треугольника $ABC$, проходит через точку $A$, пересекает сторону $AC$ в точке $K$, а сторону $BC$ — в точках $L$ и $M$. Известно, что $KC=CL=MB=2$, $AK=3$. Найдите отношение длин отрезков $AO$ и $OB$.
Ответ:
Решение:
Окружность, проходящая через вершины $A$ и $B$ квадрата $ABCD$, пересекает прямые $AD$ и $AC$ в точках $E$ и $F$, отличных от точки $A$. Длина ортогональной проекции отрезка $EF$ на прямую $AC$ равна 1. Какой при этих условиях может быть длина стороны квадрата?
Ответ:
Решение:
Треугольник $ABC$ вписан в окружность с центром в точке $O$. Биссектрисы внутренних углов треугольника при вершинах $A$ и $B$ пересекают описанную окружность в точках $A_1$ и $B_1$ соответственно. Угол между биссектрисами равен $60^\circ$. Длина стороны $AB$ равна 3. Найдите площадь треугольника $A_1B_1O$.
Ответ:
Решение:
Окружность радиуса 1 проходит через вершины $A$ и $B$ треугольника $ABC$ и пересекает стороны $AC$ и $BC$ в точках $M$ и $K$ соответственно. Найдите площадь треугольника $ABC$, если $AB=\sqrt3$, $MK=1$, а центр окружности находится внутри треугольника $ABC$ на расстоянии 5 от точки $C$.
Ответ:
Решение:
Петя хотел нарисовать правильный треугольник $ABC$. Но, поскольку он рисовал неточно, получился треугольник с углами $\angle A=59^\circ$ и $\angle B=63^\circ$. Потом Петя провёл высоты $CE$ и $BD$, но, поскольку угольник был слегка перекошен, получил углы $\angle ADB=\angle AEC=92^\circ$. Найдите градусную меру угла $AED$.
Ответ:
Решение:
Окружность с диаметром $AB$ пересекает отрезки $AC$ и $BC$ в точках $M$ и $N$ соответственно, причём длина отрезка $MN$ равна радиусу окружности. Найдите площадь четырехугольника $ABNM$, если известно, что $AC=12$ и $BC=8$.
Ответ:
Решение:
Окружность с диаметром $PQ$ пересекает отрезки $PR$ и $QR$ в точках $A$ и $B$ соответственно, причём длина отрезка $AB$ равна радиусу окружности. Найдите площадь четырёхугольника $PABQ$, если известно, что $AR=4$ и $BR=6$.
Ответ:
Решение: