Поиск задач

Ищите по условию, ответу и решению. Можно сузить поиск темой, сложностью и источником, а ввод одного числа — это поиск задачи по её номеру.

Найдено задач: 1597
15006
В равнобедренном треугольнике $ABC$ ($AB=BC$) проведена биссектриса $CD$. На основании $AC$ отмечена точка $F$ так, что $BD=CF$. Точка $E$ выбрана таким образом, что четырехугольник $CDEF$ — параллелограмм. Докажите, что $BE=BF$.
Ответ:
Решение:
15021
Правильный пятиугольник и правильный двадцатиугольник вписаны в одну и ту же окружность. Что больше: сумма квадратов длин всех сторон пятиугольника или сумма квадратов длин всех сторон двадцатиугольника?
Ответ:
Решение:
15022
У Сени есть три прямых палки длиной 24 сантиметра каждая. Сеня разломил одну из них на две части так, что из двух кусков этой палки и двух целых палок он смог выложить контур прямоугольного треугольника. Сколько квадратных сантиметров составляет площадь этого треугольника?
Ответ:
Решение:
15023
Прямая $\ell$, пересекающая стороны $AB$ и $AC$ треугольника $ABC$, разбивает его на равносторонний треугольник и на четырёхугольник. Пусть $X$ и $Y$ — проекции точек $B$ и $C$ на прямую $\ell$. Найдите длину отрезка $XY$, если $AB=20$, $AC=21$.
Ответ:
Решение:
15024
Два равносторонних треугольника с параллельными сторонами расположены так, как показано на рисунке. Оказалось, что расстояния между параллельными сторонами треугольников равны $\sqrt{3}$. Найдите разность периметров этих треугольников.
большой равносторонний треугольник (вершиной вверх), внутри него — меньший равносторонний треугольник с соответственно параллельными сторонами; между каждой стороной малого треугольника и параллельной ей стороной большого стрелкой отмечено расстояние 3 (все три расстояния равны 3).большой равносторонний треугольник (вершиной вверх), внутри него — меньший равносторонний треугольник с соответственно параллельными сторонами; между каждой стороной малого треугольника и параллельной ей стороной большого стрелкой отмечено расстояние 3 (все три расстояния равны 3).
Ответ:
Решение:
15025
Дан треугольник $ABC$ с прямым углом $C$. Окружность с центром в $A$, проходящая через $C$, пересекает гипотенузу в точке $E$, а окружность с центром в $B$, проходящая через $C$, пересекает гипотенузу в точке $D$. Найдите $ED$, если $AD=16$, $BE=50$.
Ответ:
Решение:
15026
В треугольнике $ABC$ известны углы $\angle B=30^\circ$ и $\angle A=90^\circ$. На стороне $AC$ отмечена точка $K$, а на стороне $BC$ — точки $L$ и $M$ так, что $KL=KM$ (точка $L$ лежит на отрезке $BM$).
Найдите длину отрезка $LM$, если известно, что $AK=4$, $BL=31$, $MC=3$.
прямоугольный треугольник ABC: A слева внизу (прямой угол), B справа внизу (угол 30^ ), C слева вверху над A. Точка K на катете AC, точки M и L на гипотенузе BC (M ближе к C); проведены отрезки KM и KL, их равенство отмечено штрихами.прямоугольный треугольник ABC: A слева внизу (прямой угол), B справа внизу (угол 30^ ), C слева вверху над A. Точка K на катете AC, точки M и L на гипотенузе BC (M ближе к C); проведены отрезки KM и KL, их равенство отмечено штрихами.
Ответ:
Решение:
15027
Известно, что $\dfrac{a+b}{a-b}=3$. Найдите значение выражения $\dfrac{a^2-b^2}{a^2+b^2}$.
Ответ:
Решение:
15028
Известно, что $\dfrac{1}{3a}+\dfrac{2}{3b}=\dfrac{3}{a+2b}$. Докажите, что $a=b$.
Ответ:
Решение:
15029
Про три действительных числа $p$, $q$ и $r$ известно, что \[ p+q+r=5, \qquad \frac{1}{p+q}+\frac{1}{q+r}+\frac{1}{p+r}=9. \] Чему равняется выражение \[ \frac{r}{p+q}+\frac{p}{q+r}+\frac{q}{p+r}? \]
Ответ:
Решение:
15033
У Олега есть четыре карточки, на каждой из которых с одной и с другой стороны написаны натуральные числа (всего написано 8 чисел). Он рассматривает всевозможные четвёрки чисел, где первое число написано на первой карточке, второе — на второй, третье — на третьей, четвёртое — на четвёртой. Затем для каждой четвёрки он выписывает произведение чисел к себе в блокнот. Чему равна сумма восьми чисел на карточках, если сумма шестнадцати чисел в блокноте Олега равна 330?
Ответ:
Решение:
15035
Подберите такие не равные нулю числа $n$ и $m$, чтобы равенство \[ (n\cdot5^n)^n=m\cdot5^9 \] было верным.
Ответ:
Решение:
15036
Произведение положительных чисел $a$ и $b$ равно 1. Известно, что \[(3a+2b)(3b+2a)=295.\] Найдите $a+b$.
Ответ:
Решение:
15037
Если длину прямоугольного поля увеличить на 20 м, а ширину увеличить на 8 м, то его площадь увеличится на 9280 м$^2$. На сколько уменьшится площадь поля, если его длину уменьшить на 20 м, а ширину уменьшить на 8 м? Ответ выразите в квадратных метрах.
Ответ:
Решение:
15038
Четыре числа $a$, $b$, $c$ и $d$ таковы, что верна пропорция \[\frac{a-b}{c-d}=\frac{a+b}{c+d}\quad\text{и}\quad ad=60.\] Найдите произведение всех четырех чисел.
Ответ:
Решение:
15039
Известно, что $a^2+b=b^2+c=c^2+a$. Какие значения может принимать выражение \[a(a^2-b^2)+b(b^2-c^2)+c(c^2-a^2)\,?\]
Ответ:
Решение:
15040
Существуют ли такие попарно различные числа $a$, $b$ и $c$, что число $a$ является корнем квадратного трёхчлена $x^2-2bx+c^2$, число $b$ является корнем квадратного трёхчлена $x^2-2cx+a^2$, а число $c$ является корнем квадратного трёхчлена $x^2-2ax+b^2$?
Ответ:
Решение:
15042
Числа $a$, $b$, $c$ и $d$ таковы, что $a+b=c+d\neq0$, $ac=bd$. Докажите, что $a+c=b+d$.
Ответ:
Решение:
15043
Дан набор чисел $\{-1,-2,-3,\ldots,-26\}$. На доску выписали всевозможные подмножества данного набора, в которых есть хотя бы 2 числа. Для каждого выписанного подмножества вычислили произведение всех чисел, принадлежащих данному подмножеству. Чему равна сумма всех этих произведений?
Ответ:
Решение:
15044
Про действительные ненулевые числа $a$, $b$, $c$ известно, что \[a^2-bc=b^2-ac=c^2-ab.\]
1. Какие положительные значения может принимать выражение \[\frac{a}{b+c}+\frac{2b}{a+c}+\frac{4c}{a+b}?\] Укажите все возможные варианты. Если выражение не может принимать положительные значения, то в качестве ответа напишите 0.
2. Какие отрицательные значения может принимать выражение \[\frac{a}{b+c}+\frac{2b}{a+c}+\frac{4c}{a+b}?\] Укажите все возможные варианты. Если выражение не может принимать отрицательные значения, то в качестве ответа напишите 0.
Ответ:
Решение: