Поиск задач
Ищите по условию, ответу и решению. Можно сузить поиск темой, сложностью и источником, а ввод одного числа — это поиск задачи по её номеру.
Найдено задач: 331
Найдите все значения $a$, для каждого из которых при любом $x$ наибольшее из двух чисел $x^3+3x+a-9$ и $a+2^{5-x}-3^{x-1}$ положительно.
Ответ:
Решение:
Укажите наименьшее положительное значение $a$, при котором неравенство \[ 2^{5-\frac{1}{x}}\geqslant a+\sin\left(2^x\right) \] не имеет ни одного решения $x\gt 0$.
Ответ:
Решение:
При каждом значении $a$ найдите все значения $x$, удовлетворяющие уравнению \[ \log_5\left(\frac{(x+1)^2}{x}-a\right)=\log_5\frac{(x+1)^2}{x}-\log_5 a. \]
Ответ:
Решение:
Найдите все значения $a$, при каждом из которых система \[ \begin{cases} 25^x-13\cdot5^x+a\lt 0,\\ 12\sin^4\pi x-\cos4\pi x=11 \end{cases} \] имеет хотя бы одно решение.
Ответ:
Решение:
При каких значениях параметра $a$ множество решений неравенства \[ \frac{a^{2x}-3a^{x+1}+2a^2}{\log_2a}\geqslant0 \] (относительно неизвестной $x$) представляет собой отрезок длиной 2026?
Ответ:
Решение:
Найдите все пары $(a,b)$, при которых множество решений неравенства \[ \log_{2014}(2x+a)\gt x^2-2x-b \] совпадает с промежутком $(1;2)$.
Ответ:
Решение:
Сколько существует значений параметра $a$, при которых уравнение \[ 4a^2+3x\lg x+3\lg^2 x=13a\lg x+ax \] имеет единственное решение?
Ответ:
Решение:
При каких значениях параметра $a$ множество решений неравенства \[ 3x^2\log_a x-\log_x a-2x\geqslant 0 \] (относительно неизвестной $x$) состоит из полуинтервала и точки (которая не принадлежит этому полуинтервалу и не является его концом)?
Ответ:
Решение:
Найдите все значения $a$, при каждом из которых уравнение \[ 4x-\bigl|3x-|x+a|\bigr|=9|x-1| \] имеет хотя бы один корень.
Ответ:
Решение:
При каких значениях параметра $a$ уравнение \[ |x+1-a|+|4^x-a|=4^x-x-1 \] имеет на промежутке $[-1;1]$ единственное решение?
Ответ:
Решение:
Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение \[ \cos 2x-2a\sin x-|2a-1|+2=0 \] имеет решения и все его положительные решения образуют арифметическую прогрессию.
Ответ:
Решение:
Найдите все значения $\alpha$, при каждом из которых нули функций \[ f(x)=\sin\left(\frac{3x}{2}+\alpha\right)\quad\text{и}\quad g(x)=2\sin2x+4\cos\left(x-\frac{\pi}{6}\right)+\sqrt3 \] строго чередуются на числовой оси.
Ответ:
Решение:
Найдите все значения $a$, при каждом из которых ровно одно из следующих двух утверждений является истинным:\ 1) «Уравнение $\cos(\cos x)+\sin(\sin x)=a$ имеет ровно два корня на отрезке $[0;\pi]$»;\ 2) «Уравнение $\sin^4 x+\cos^4 x+\sin 2x=a$ имеет корни».
Ответ:
Решение:
При каких значениях параметра $a\in\mathbb R$ наибольшее расстояние между корнями уравнения \[ a\operatorname{tg}^3x+\left(2-a-a^2\right)\operatorname{tg}^2x+\left(a^2-2a-2\right)\operatorname{tg}x+2a=0, \] принадлежащими интервалу $\left(-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right)$, принимает наименьшее значение? Найдите это наименьшее значение.
Ответ:
Решение:
При каких значениях $a$ существует единственное решение системы \[ \begin{cases} x^2+y^2=4,\\ (x-3)^2+(y+4)^2=a\,? \end{cases} \]
Ответ:
Решение:
Найдите все значения $a\gt 0$, при каждом из которых из неравенства $x^2+y^2\leqslant a$ следует неравенство $(|x|+3)(|y|+3)\leqslant25$.
Ответ:
Решение:
Найдите площадь прямоугольного треугольника, если высота, проведённая из вершины прямого угла, разбивает его на два треугольника, у которых радиусы вписанных окружностей равны 3 и 4.
Ответ:
Решение:
В треугольнике $ABC$ длины сторон $AB=84$, $AC=98$. Точка $O$ — центр окружности, описанной около треугольника $ABC$. Прямая $BD$, перпендикулярная прямой $AO$, пересекает сторону $AC$ в точке $D$. Найдите $CD$.
Ответ:
Решение:
Точка $O$ — центр вписанной в треугольник $ABC$ окружности. Продолжение отрезка $BO$ за точку $O$ пересекает описанную вокруг треугольника $ABC$ окружность в точке $D$. Найдите угол $B$, если $OD=4AC$.
Ответ:
Решение:
В треугольнике $ABC$, площадь которого равна $20$, проведена медиана $CD$. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника $ABC$, если известно, что $AC=\sqrt{41}$, а центр окружности, вписанной в треугольник $ACD$, лежит на окружности, описанной около треугольника $BCD$.
Ответ:
Решение: