Поиск задач
Ищите по условию, ответу и решению. Можно сузить поиск темой, сложностью и источником, а ввод одного числа — это поиск задачи по её номеру.
Найдено задач: 1597
Дан квадратный трехчлен $P(x)$. Докажите, что существуют попарно различные числа $a$, $b$ и $c$ такие, что выполняются равенства \[ P(b+c)=P(a),\quad P(c+a)=P(b),\quad P(a+b)=P(c). \]
Ответ:
Решение:
На доске записано 7 различных чисел, сумма которых равна 10. Петя умножил каждое из них на сумму остальных шести и записал 7 полученных произведений в тетрадь. Оказалось, что в тетради встречаются только четыре различных числа. Найдите одно из чисел, записанных на доске.
Ответ:
Решение:
Даны квадратные трехчлены $P(x)$ и $Q(x)$; обозначим $p_n=P(n)$ и $q_n=Q(n)$. Раз в минуту Саша рисует на координатной плоскости прямую:
- на первой минуте — прямую с уравнением $y=p_1x+q_1$,
- на второй — с уравнением $y=p_2x+q_2$,
- $\ldots$,
- на $i$-й минуте — с уравнением $y=p_ix+q_i$.
Ответ:
Решение:
Коэффициенты $a$, $b$, $c$ квадратного трёхчлена $f(x)=ax^2+bx+c$ — натуральные числа, сумма которых равна 2000. Паша может изменить любой коэффициент на 1, заплатив 1 рубль. Докажите, что он может получить квадратный трёхчлен, имеющий хотя бы один целый корень, заплатив не более 1050 рублей.
Ответ:
Решение:
Числа $b\gt 0$ и $a$ таковы, что квадратный трехчлен $x^2+ax+b$ имеет два различных корня, ровно один из которых лежит на отрезке $[-1;1]$. Докажите, что ровно один из этих корней лежит в интервале $(-b;b)$.
Ответ:
Решение:
Дан квадратный трёхчлен $P(x)$, не обязательно с целыми коэффициентами. Известно, что при некоторых целых $a$ и $b$ разность $P(a)-P(b)$ является квадратом натурального числа. Докажите, что существует более миллиона таких пар целых чисел $(c,d)$, что разность $P(c)-P(d)$ также является квадратом натурального числа.
Ответ:
Решение:
Даны два приведённых квадратных трёхчлена $f(x)$ и $g(x)$; известно, что трёхчлены $f(x)$, $g(x)$ и $f(x)+g(x)$ имеют по два корня. Оказалось, что разность корней трёхчлена $f(x)$ равна разности корней трёхчлена $g(x)$. Докажите, что разность корней трёхчлена $f(x)+g(x)$ не больше этих разностей. (В каждой разности из большего корня вычитается меньший.)
Ответ:
Решение:
Для какого наименьшего натурального числа $a$ существуют целые числа $b$ и $c$ такие, что квадратный трёхчлен $ax^2+bx+c$ имеет два различных положительных корня, не превосходящих $\frac{1}{1000}$?
Ответ:
Решение:
Докажите, что если в выражении $(x^2-x+1)^{2014}$ раскрыть скобки и привести подобные слагаемые, то какой-нибудь коэффициент полученного многочлена будет отрицательным.
Ответ:
Решение:
Квадратный трёхчлен $P(x)$ таков, что $P(P(x))=x^4-2x^3+4x^2-3x+4$. Чему может равняться $P(8)$? Укажите все возможные варианты.
Ответ:
Решение:
В выражении $(a+2b)(b+2c)(c+2d)(d+2e)(e+2f)(f+2a)$ раскрыли скобки и привели подобные слагаемые.
1. Найдите коэффициент при $abcdef$.
2. Найдите сумму всех получившихся коэффициентов.
1. Найдите коэффициент при $abcdef$.
2. Найдите сумму всех получившихся коэффициентов.
Ответ:
Решение:
Дано положительное число $a$. Известно, что уравнение $x^3+1=ax$ имеет ровно два положительных корня, и отношение большего из них к меньшему равно 2018. Уравнение $x^3+1=ax^2$ также имеет ровно два положительных корня. Докажите, что отношение большего из них к меньшему также равно 2018.
Ответ:
Решение:
Многочлен $G(x)$ с действительными коэффициентами принимает значение 2022 ровно в пяти различных точках $x_1\lt x_2\lt x_3\lt x_4\lt x_5$. Известно, что график функции $y=G(x)$ симметричен относительно прямой $x=-8$.
1. Найдите $x_1+x_3+x_5$.
2. Какую наименьшую степень может иметь $G(x)$?
1. Найдите $x_1+x_3+x_5$.
2. Какую наименьшую степень может иметь $G(x)$?
Ответ:
Решение:
Многочлен $P(x)$ с действительными коэффициентами, отличный от константы, таков, что для всех действительных $x$ верно \[P(x^2)=x(1+x^2)P(x).\]
1. Найдите $P(-1)$.
2. Найдите $\dfrac{P(5)}{P(2)}$.
1. Найдите $P(-1)$.
2. Найдите $\dfrac{P(5)}{P(2)}$.
Ответ:
Решение:
Пусть $n$ — натуральное число. На $2n+1$ карточках написано по ненулевому целому числу; сумма всех чисел также ненулевая. Требуется этими карточками заменить звёздочки в выражении $*x^{2n}+*x^{2n-1}+\ldots+*x+*$ так, чтобы полученный многочлен не имел целых корней. Обязательно ли это можно сделать?
Ответ:
Решение:
Обозначим $\alpha$ положительный корень квадратного трёхчлена \[x^2+x-5.\] Многочлен $P(x)$ имеет целые неотрицательные коэффициенты, и $P(\alpha)=49$.
1. Найдите наименьший возможный свободный член многочлена $P$.
2. Найдите наименьшую возможную сумму коэффициентов многочлена $P$.
1. Найдите наименьший возможный свободный член многочлена $P$.
2. Найдите наименьшую возможную сумму коэффициентов многочлена $P$.
Ответ:
Решение:
Дано натуральное число $N\geqslant3$. Назовём набор из $N$ точек на координатной плоскости допустимым, если их абсциссы различны, и каждая из этих точек окрашена либо в красный, либо в синий цвет. Будем говорить, что многочлен $P(x)$ разделяет допустимый набор точек, если либо выше графика $P(x)$ нет красных точек, а ниже — нет синих, либо наоборот (на самом графике могут лежать точки обоих цветов). При каком наименьшем $k$ любой допустимый набор из $N$ точек можно разделить многочленом степени не более $k$?
Ответ:
Решение:
Дан кубический многочлен $f(x)$. Назовём циклом тройку различных чисел $(a,b,c)$ таких, что $f(a)=b$, $f(b)=c$ и $f(c)=a$. Известно, что нашлись восемь циклов $(a_i,b_i,c_i)$, $i=1,2,\ldots,8$, в которых участвуют 24 различных числа. Докажите, что среди восьми чисел вида $a_i+b_i+c_i$ есть хотя бы три различных.
Ответ:
Решение:
Бесконечная последовательность ненулевых чисел $a_1$, $a_2$, $a_3$, $\ldots$ такова, что при всех натуральных $n\geqslant 2018$ число $a_{n+1}$ является наименьшим корнем многочлена \[P_n(x)=x^{2n}+a_1x^{2n-2}+a_2x^{2n-4}+\ldots+a_n.\] Докажите, что существует такое $N$, что в бесконечной последовательности $a_N$, $a_{N+1}$, $a_{N+2}$, $\ldots$ каждый член меньше предыдущего.
Ответ:
Решение:
Многочлен $P(x)$ с вещественными коэффициентами имеет степень $10^5$, а его старший коэффициент равен 1. Найдите наименьшую возможную степень многочлена \[ R(x)=P\left(x^{1000}+1\right)-P(x)^{1000}. \]
Ответ:
Решение: