Поиск задач
Ищите по условию, ответу и решению. Можно сузить поиск темой, сложностью и источником, а ввод одного числа — это поиск задачи по её номеру.
Найдено задач: 456
Найти все значения параметров $a$, $b$ и $c$, при которых множество действительных корней уравнения $x^5+4x^4+ax^2=bx+4c$ состоит ровно из двух чисел 2 и $-2$.
Ответ:
Решение:
Найти сумму квадратов корней уравнения: \[ \left(x^2+4x\right)^2-2016\left(x^2+4x\right)+2017=0. \]
Ответ:
Решение:
Ответ:
Решение:
Докажите, что многочлен $P(t)=t^3-2t^2-10t-3$ имеет три различных действительных корня. Найдите многочлен $R(t)$ третьей степени с корнями $u=x^2y^2z$, $v=x^2z^2y$, $w=y^2z^2x$, где $x$, $y$, $z$ — различные корни многочлена $P(t)$.
Ответ:
Решение:
Ответ:
Решение:
Пусть $a$, $b$, $c$ — корни многочлена \[ P(x)=x^3+x^2-2x-1. \] Найдите $a^2b^2+a^2c^2+b^2c^2$.
Ответ:
Решение:
Решите уравнение \[ x^3-13x^2+39x+m=0, \] зная, что оно имеет три различных корня и его корни образуют возрастающую геометрическую прогрессию. В ответе укажите сумму значения $m$ и всех трёх его корней.
Ответ:
Решение:
Студент написал программу перекрашивания пикселя в один из 128 различных цветов. Эти цвета он занумеровал натуральными числами от 1 до 128, причем основные цвета получили следующие номера: белый цвет — номер 1, красный — 5, оранжевый — 13, желтый — 19, зеленый — 23, голубой — 53, синий — 55, фиолетовый — 83, черный — 128. Если исходный цвет пикселя имеет номер $n\leqslant 17$, то программа студента перекрашивает его в цвет с номером $3n-2$, а если исходный цвет пикселя имеет номер $n\geqslant 18$, то пиксель перекрашивается в цвет с номером $|129-2n|$. Изначально пиксель имел красный цвет. К нему студент последовательно применил свою программу 2019 раз. В какой цвет в результате окрасился пиксель?
Ответ:
Решение:
Найдите наибольшее натуральное число $n$, для которого верно неравенство \[ \left(1^3+2^3+\ldots+n^3\right)-106(1+2+\ldots+n)+105\leqslant0. \]
Ответ:
Решение:
Боковые ребра $TA$, $TB$ и $TC$ тетраэдра $TABC$ попарно перпендикулярны, $TH$ — высота тетраэдра, $\angle TAH=30^\circ$, $\angle TBH=45^\circ$, $BC=\sqrt6$. Точка $K$, лежащая в плоскости основания $ABC$, равноудалена от боковых граней тетраэдра $TABC$. Найдите $HK$.
Ответ:
Решение:
Основанием пирамиды $TABCD$ является ромб $ABCD$. Высота пирамиды $TK$ равна $1$, точка $K$ лежит на прямой, содержащей диагональ основания $AC$, причем $KC=KA+AC$. Боковое ребро $TC$ равно $2\sqrt2$, а боковые грани наклонены к плоскости основания под углами $30^\circ$ и $60^\circ$. Найдите длину стороны основания и угол между боковым ребром $TA$ и плоскостью боковой грани $TCD$.
Ответ:
Решение:
Основанием пирамиды $TABCD$ является ромб $ABCD$. Высота пирамиды $TK$ равна $5$, точка $K$ лежит на прямой, содержащей диагональ основания $AC$, причем $KC=KA+AC$. Боковое ребро $TC$ равно $6\sqrt5$, а боковые грани наклонены к плоскости основания под углами $30^\circ$ и $60^\circ$. Найдите длину стороны основания и угол между стороной основания $AB$ и боковой гранью $TBC$.
Ответ:
Решение:
Боковые ребра $TA$, $TB$, и $TC$ тетраэдра $TABC$ попарно перпендикулярны, ребро $TA$ наклонено к плоскости основания $ABC$ под углом $30^\circ$. Пусть $H$ — точка пересечения высот треугольника $ABC$, косинус угла $AHB$ равен $-1/3$. Найдите угол между ребром $TC$ и плоскостью $ABC$.
Ответ:
Решение:
В основании прямой призмы $ABCDA_1B_1C_1D_1$ лежит ромб $ABCD$. Сечение призмы плоскостью, проходящей через точку $C_1$ параллельно диагонали ромба $BD$, наклонено к плоскости основания призмы под углом $\operatorname{arctg}\dfrac43$. Найдите угол между диагональю призмы $AC_1$ и плоскостью основания $ABCD$, если площадь сечения относится к площади основания призмы как $35:24$.
Ответ:
Решение:
В сферу радиуса $R$ вписана правильная треугольная пирамида, у которой высота относится к стороне основания, как $\sqrt2:\sqrt3$. Какую наименьшую площадь может иметь сечение пирамиды плоскостью, проходящей через медиану боковой грани? Найдите отношение объёмов частей, на которые секущая плоскость разбивает пирамиду в этом случае.
Ответ:
Решение:
Боковые ребра треугольной пирамиды $TABC$ образуют между собой прямые углы. Какую наименьшую площадь может иметь сечение пирамиды плоскостью, проходящей через вершину $C$ и середину стороны $AB$ основания, если боковые ребра $TA=6$, $TB=12$, $TC=2$? Какое из боковых ребер пересекает в этом случае плоскость и на какие части его делит?
Ответ:
Решение:
Найдите площадь сечения правильной треугольной призмы $ABCA_1B_1C_1$ плоскостью, которая параллельна диагонали $AC_1$ боковой грани $AA_1C_1C$, проходит через середину стороны $AB$ основания $ABC$ и точку $M$, лежащую на стороне $B_1C_1$, если $MC_1=3B_1M$, расстояние между $AC_1$ и секущей плоскостью равно $3$, а сторона основания призмы равна $2\sqrt{14}$.
Ответ:
Решение:
Найдите объемы частей, на которые делит правильную треугольную призму $ABCA_1B_1C_1$ плоскость, параллельная диагонали $AC_1$ боковой грани $AA_1C_1C$, проходящая через середину стороны $AB$ основания $ABC$ и точку $M$, лежащую на стороне $B_1C_1$, если $MC_1=3B_1M$, расстояние от точки $C$ до секущей плоскости равно $\sqrt2$, а сторона основания призмы равна $4\sqrt7$.
Ответ:
Решение:
Найдите объемы частей, на которые делит правильную треугольную призму $ABCA_1B_1C_1$ плоскость, параллельная диагонали $AC_1$ боковой грани $AA_1C_1C$, проходящая через вершину $C$ и центр симметрии боковой грани $AA_1B_1B$, если площадь сечения призмы этой плоскостью равна $21$, а сторона основания призмы равна $2\sqrt{14}$.
Ответ:
Решение:
Найдите площадь сечения правильной треугольной пирамиды $TABC$ плоскостью, проходящей через центр сферы описанной около пирамиды, и через середины бокового ребра $TA$ и стороны основания $BC$ и параллельной апофеме $TF$ боковой грани $ATB$, если радиус сферы равен $3$.
Ответ:
Решение: