Поиск задач
Ищите по условию, ответу и решению. Можно сузить поиск темой, сложностью и источником, а ввод одного числа — это поиск задачи по её номеру.
Найдено задач: 1597
В примере с дробями некоторые двузначные натуральные числа заменили буквами $A$ и $B$ \[\frac{A-5}{A}+\frac{4}{B}=1.\]
1. Какое наименьшее значение может принимать $A$?
2. Какое наибольшее значение может принимать $B$?
1. Какое наименьшее значение может принимать $A$?
2. Какое наибольшее значение может принимать $B$?
Ответ:
Решение:
Каждый член последовательности натуральных чисел, начиная с третьего, равен сумме двух предыдущих, а восьмой член равен 1313.
1. Сколько существует таких последовательностей?
2. Чему равен второй член последовательности, если первый равен 13?
1. Сколько существует таких последовательностей?
2. Чему равен второй член последовательности, если первый равен 13?
Ответ:
Решение:
На клетчатой бумаге нарисовали большой квадрат. Его разрезали на несколько одинаковых средних квадратов. Один из средних квадратов разрезали на несколько одинаковых маленьких квадратов. Стороны всех квадратов проходят по линиям сетки. Найдите длины сторон большого, среднего и маленького квадратов, если сумма их площадей равна 154.
Ответ:
Решение:
Антон выписал на доску три натуральных числа $a$, $b$ и $c$. А Ира нарисовала на доске три прямоугольника $a\times b$, $a\times c$ и $b\times c$. Оказалось, что разность площадей какой-то пары прямоугольников равна 1, а разность площадей другой пары прямоугольников равна 49. Чему может быть равно $a+b+c$? Укажите все возможные варианты.
Ответ:
Решение:
Целые числа $n$ и $m$ удовлетворяют неравенствам $3n-m\lt 5$, $n+m\gt 26$, $3m-2n\lt 46$. Чему может равняться $2n+m$? Укажите все возможные варианты.
Ответ:
Решение:
Натуральное число $n$ таково, что значение выражения $n^2+492$ является точным квадратом.
1. Укажите любое возможное значение $n$.
2. Чему может быть равно $n$? Укажите все возможные варианты.
1. Укажите любое возможное значение $n$.
2. Чему может быть равно $n$? Укажите все возможные варианты.
Ответ:
Решение:
Натуральные числа $a$, $b$ таковы, что число $\dfrac{7a+9b}{a+3b}$ — тоже натуральное. Чему может быть равно отношение $\dfrac{a}{b}$? Укажите все подходящие варианты.
Ответ:
Решение:
Целые числа $a$, $b$, $c$ таковы, что $a^2+b^2c^2+c^2=2c(ab+1)$ и $a+b+c=800$. Чему может быть равно $b$? Укажите все возможные варианты ответа.
Ответ:
Решение:
Объём аккумулятора рации — натуральное число условных единиц. На каждое включение рации тратится натуральное число у. е., и каждые 10 минут работы рации отнимают некоторое натуральное число у. е. При выключении рации аккумулятор не расходуется. Известно, что если сеансы связи длятся по 10 минут, то аккумулятор сядет во время 40-го сеанса, а если по 20 минут — то во время 26-го. Найдите наименьший возможный заряд аккумулятора. «Аккумулятор сел во время сеанса» означает, что сеанс связи начался, шёл некоторое время, но аккумулятор сел до того момента, как сеанс успел закончиться.
Ответ:
Решение:
Дано нечётное простое число $p$. Найдите все пары натуральных чисел $a$ и $b$ таких, что $\dfrac{a}{p}+\dfrac{p}{b}=2$.
Ответ:
Решение:
Натуральные числа $a$, $x$ и $y$, большие 100, таковы, что $y^2-1=a^2(x^2-1)$. Какое наименьшее значение может принимать дробь $a/x$?
Ответ:
Решение:
Натуральные числа $n\gt 20$ и $k\gt 1$ таковы, что $n$ делится на $k^2$. Докажите, что найдутся натуральные $a$, $b$ и $c$ такие, что $n=ab+bc+ca$.
Ответ:
Решение:
Найдите все такие пары целых чисел $m$ и $n\gt 2$, что \[ \bigl((n-1)!-n\bigr)\cdot(n-2)!=m(m-2). \] Напомним, что $k!=1\cdot2\cdot\ldots\cdot k$ — произведение всех натуральных чисел от 1 до $k$.
Ответ:
Решение:
Дан треугольник с различными натуральными длинами сторон $a$, $b$ и $c$. Докажите, что хотя бы одно из чисел $ab+1$, $bc+1$ и $ca+1$ не является полным квадратом.
Ответ:
Решение:
Назовём хорошей пару $(a,b)$ натуральных чисел, лежащих на отрезке $[100;240]$, если число $\sqrt{a+\sqrt{b}}$ является целым. Сколько существует хороших пар?
Ответ:
Решение:
Найдите количество пар различных натуральных чисел $a,b$ таких, что $1\leqslant a\lt b\leqslant100$ и \[\bigl\lfloor\sqrt{a}\bigr\rfloor+\bigl\lceil\sqrt{b}\bigr\rceil=\bigl\lceil\sqrt{a}\bigr\rceil+\bigl\lfloor\sqrt{b}\bigr\rfloor.\] Напомним, что $\lfloor x\rfloor$ обозначает наибольшее целое число, меньшее или равное $x$, а $\lceil x\rceil$ — наименьшее целое число, большее или равное $x$.
Ответ:
Решение:
Пусть $n$ — натуральное число. Какая цифра стоит сразу после запятой в десятичной записи числа $\sqrt{n^2+n}$?
Ответ:
Решение:
Различные натуральные числа $n$ и $k$ таковы, что \[k\lt n\lt 2k\lt 3n\lt 4k\lt 5n\lt \ldots\lt 48k\lt 49n\lt 50k.\] Какое наименьшее значение может принимать $n$?
Ответ:
Решение:
Квадратный трёхчлен $f(x)=ax^2+bx+c$, не имеющий корней, таков, что коэффициент $b$ рационален, а среди чисел $c$ и $f(c)$ ровно одно иррационально. Может ли дискриминант трёхчлена $f(x)$ быть рациональным?
Ответ:
Решение:
При каком наименьшем натуральном $a$ на числовом интервале $(a,3a)$ находится ровно 50 точных квадратов?
Ответ:
Решение: